《2025年南方新课堂金牌学案九年级数学上册人教版》

已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c = 0 $,方程的两根分别为 $ x_{1},x_{2} $.
(1) 若 $ c = 1 $, $ x_{1}= 1 $,
①用含 $ a $ 的代数式表示 $ b $；
②若方程两根(包括 $ x_{1},x_{2} $)之间有且只有三个整数,求 $ a $ 的取值范围；
(2) 已知 $ b^{2}-4ac = 4a $, $ (x_{1}-x_{2})^{2}= \frac{c^{2}-2c + 6}{c} $,设 $ y = x_{1}\cdot x_{2} $,请用含 $ c $ 的代数式表示 $ y $,并求出 $ y $ 的最小值.

答案： （1）①将$c=1$，$x_{1}=-1$代入$ax^{2}+bx+c=0$，得$a-b+1=0$，解得$b=a+1$. ②由①得$b=a+1$，$c=1$，$\therefore$方程为$ax^{2}+(a+1)x+1=0$. $ax^{2}+ax+x+1=0$. $ax(x+1)+(x+1)=0$. $(x+1)(ax+1)=0$. 解得$x_{1}=-1$，$x_{2}=-\frac{1}{a}$. $\because$方程两根(包括$x_{1},x_{2}$)之间有且有三个整数，$\therefore$当$-\frac{1}{a}＞1$，即$a＞1$或$a＜0$时，则$1\leq-\frac{1}{a}＜2$，解得$-1\leq a＜-\frac{1}{2}$. 当$-\frac{1}{a}＜1$，即$0＜a＜1$时，则$-4＜-\frac{1}{a}\leq-3$，解得$\frac{1}{4}＜a\leq\frac{1}{3}$. 综上所述，a的取值范围为$-1\leq a＜-\frac{1}{2}$或$\frac{1}{4}＜a\leq\frac{1}{3}$.（2）由题意得$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$. $\because(x_{1}-x_{2})^{2}=\frac{c^{2}-2c+6}{c}$，$\therefore(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}=\frac{c^{2}-2c+6}{c}$. $\therefore(-\frac{b}{a})^{2}-4\cdot\frac{c}{a}=\frac{c^{2}-2c+6}{c}$. $\therefore\frac{b^{2}}{a^{2}}-\frac{4c}{a}=\frac{c^{2}-2c+6}{c}$. $\therefore\frac{b^{2}-4ac}{a^{2}}=\frac{c^{2}-2c+6}{c}$. 又$\because b^{2}-4ac=4a$，$\therefore\frac{4a}{a^{2}}=\frac{c^{2}-2c+6}{c}$. 即$\frac{4}{a}=\frac{c^{2}-2c+6}{c}$，$\therefore\frac{c}{a}=\frac{c^{2}-2c+6}{4}$. $\because y=x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$，$\therefore y=\frac{c^{2}-2c+6}{4}=\frac{(c-1)^{2}+5}{4}$. $\therefore$当$c=1$时，y取得最小值，最小值为$\frac{5}{4}$，$\therefore y=\frac{c^{2}-2c+6}{4}$，y的最小值为$\frac{5}{4}$.

1. 一人患了流感,设每轮传染$x$人,用代数式表示,第一轮后共有$1 + x$人患了流感；第二轮传染中,这些人的每个人又传染了$x$人,用代数式表示,第二轮后共有$(1 + x)^{2}$人患了流感,假设两轮后共有144人患了流感,可列式为$(1 + x)^{2} = 144$.

答案： 第一轮后共有$1 + x$人患了流感；
第二轮后共有$(1 + x)^{2}$人患了流感；
可列式为$(1 + x)^{2} = 144$。