《2025年南方新课堂金牌学案九年级数学上册人教版》

例1 已知二次函数 $y = x^{2}+5x + 8$.
(1) 当 $x = -2$ 时,求函数的值；
(2) 当函数值为 2 时,求自变量 $x$ 的值.

答案： 解
(1) 把 $x = -2$ 代入 $y = x^{2}+5x + 8$ 中,得 $y = (-2)^{2}+5×(-2)+8 = 2$.
(2) 把 $y = 2$ 代入 $y = x^{2}+5x + 8$ 中,得 $2 = x^{2}+5x + 8$,
$\therefore x^{2}+5x + 6 = 0$.
$\therefore (x + 2)(x + 3) = 0$.
$\therefore x_{1} = -2$,$x_{2} = -3$.

例2 已知抛物线 $y = x^{2}-5x + 6$ 与 $x$ 轴相交于 $A$,$B$ 两点,且 $A$ 在 $B$ 的左边,与 $y$ 轴相交于点 $C$.
(1) 画出此抛物线；
(2) 写出 $A$,$B$,$C$ 三点的坐标；
(3) 求 $\triangle ABC$ 的面积.

答案：
解
(1) 如图所示.
(2) $A(2,0)$,$B(3,0)$,$C(0,6)$.
(3) $S_{\triangle ABC}= \frac{1}{2}AB\cdot OC= \frac{1}{2}×(3 - 2)×6 = 3$.

例3 已知抛物线 $y = x^{2}-2kx + k^{2}+3$. 求证：
(1) 不论 $k$ 为何值,抛物线与 $x$ 轴一定没有交点；
(2) 不论 $k$ 为何值,抛物线与 $y$ 轴一定相交于正半轴.

答案：

证明
(1) 把 $y = 0$ 代入 $y = x^{2}-2kx + k^{2}+3$,得 $x^{2}-2kx + k^{2}+3 = 0$.

$\because\Delta = (-2k)^{2}-4(k^{2}+3)= 4k^{2}-4k^{2}-12 = -12＜0$,

$\therefore$ 不论 $k$ 为何值,抛物线与 $x$ 轴一定没有交点.

(2) 当 $x = 0$ 时,$y = k^{2}+3$.

$\because$ 不论 $k$ 为何值,$k^{2}\geq0$,

$\therefore$ 抛物线与 $y$ 轴的交点 $(0,k^{2}+3)$ 一定在正半轴.