《2025年南方新课堂金牌学案九年级数学上册人教版》

1. 一般地,式子$b^{2}-4ac$叫做方程 $ ax^{2}+bx+c = 0 $($ a \neq 0 $)根的判别式,通常用希腊字母$\Delta$来表示,即$\Delta = b^{2}-4ac$.

答案： $b^{2}-4ac$，$\Delta$，$\Delta = b^{2}-4ac$

2. 当$\Delta＞0$时,方程 $ ax^{2}+bx+c = 0 $($ a \neq 0 $)有两个不等的实数根；当$\Delta = 0$时,方程 $ ax^{2}+bx+c = 0 $($ a \neq 0 $)有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时,方程 $ ax^{2}+bx+c = 0 $($ a \neq 0 $)无实数根.

答案： $\Delta＞0$；$\Delta = 0$；$\Delta＜0$

3. $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$（$b^2 - 4ac \geq 0$）叫做方程 $ ax^{2}+bx+c = 0 $($ a \neq 0 $)的求根公式,这种解一元二次方程的方法叫做公式法.

答案： $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$（$b^2 - 4ac \geq 0$）；公式法

例1 不解方程,判别下列方程根的情况：
(1)$ 3x^{2}+x - 1 = 0 $；(2)$ x^{2}+4 = 4x $；(3)$ 2x^{2}+6 = 3x $.

答案：
解
(1)因为 $ a = 3 $,$ b = 1 $,$ c = -1 $,$ b^{2}-4ac = 1^{2}-4 × 3 × (-1) = 13 ＞ 0 $,
所以方程有两个不相等的实数根.

(2)将方程化为一般式,得 $ x^{2}-4x + 4 = 0 $,
则 $ a = 1 $,$ b = -4 $,$ c = 4 $.
因为 $ b^{2}-4ac = (-4)^{2}-4 × 1 × 4 = 0 $,所以方程有两个相等的实数根.
(3)将方程化为一般式,得 $ 2x^{2}-3x + 6 = 0 $,
则 $ a = 2 $,$ b = -3 $,$ c = 6 $.
因为 $ b^{2}-4ac = (-3)^{2}-4 × 2 × 6 = -39 ＜ 0 $,所以方程没有实数根.