《2025年南方新课堂金牌学案九年级数学上册人教版》

1. 小明存入银行人民币2000元,年利率为x,两年后,本利和为y元,则y与x之间的函数关系是y=2000x²+4000x+2000,若年利率为7%,两年后的本利和为2289.8元.

答案： y=2000x²+4000x+2000；2289.8

2. 某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件. 市场调查反映：如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件；每降价1元,每星期可多卖出20件. 已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大？
分析：调整价格包括涨价和降价两种情况,用怎样的等量关系呢？
(1)设每件涨价x元,则每星期少卖10x件,实际卖出(300 - 10x)件. 设商品的利润为$y_1$元,则$y_1$与x的函数关系式为$y_1=(60 + x - 40)(300 - 10x)=-10x^{2}+100x + 6000$.
(2)设每件降价x元,则每星期多卖20x件,实际卖出(300 + 20x)件. 设商品的利润为$y_2$元,则$y_2$与x的函数关系式为$y_2=(60 - x - 40)(300 + 20x)=-20x^{2}+100x + 6000$.

答案：
(1)
$10x$；
$(300 - 10x)$；
$y_1=(60 + x - 40)(300 - 10x)=-10x^{2}+100x + 6000$。
(2)
$20x$；
$(300 + 20x)$；
$y_2=(60 - x - 40)(300 + 20x)=-20x^{2}+100x + 6000$。
对于$y_1=-10x^{2}+100x + 6000$，其中$a = - 10$，$b = 100$，$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{100}{2×(-10)} = 5$，$y_1$最大值$=\frac{4×(-10)×6000 - 100^{2}}{4×(-10)}=6250$，此时定价为$60 + 5=65$元。
对于$y_2=-20x^{2}+100x + 6000$，其中$a=-20$，$b = 100$，$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{100}{2×(-20)} = 2.5$，$y_2$最大值$=\frac{4×(-20)×6000 - 100^{2}}{4×(-20)}=6125$，此时定价为$60-2.5 = 57.5$元。
因为$6250＞6125$，所以定价为$65$元时利润最大。

例 某宾馆有客房90间,当每间客房的定价为每天140元时,客房会全部住满；当每间客房每天定价每涨10元时,就会有5间客房空闲,如果旅客居住客房,宾馆需对每间客房每天支出60元的各种费用.
(1)写出该宾馆每天的利润y(元)与每间客房每天涨价x(元)之间的函数关系式；
(2)设某天的利润为8000元,则8000元的利润是否为该天的最大利润？此时每间客房每天定价应为多少元？
(3)每间客房每天定价在什么范围内宾馆就可以获得利润？

答案： 解
(1)$ y = \left( 90 - \frac { x } { 2 } \right) [ ( 140 + x ) - 60 ] $,即$ y = - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + 50 x + 7200 $.
(2)$ \because y = - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + 50 x + 7200 = - \frac { 1 } { 2 } ( x - 50 ) ^ { 2 } + 8450 $,
$ \therefore 当 x = 50 $元时,该天的最大利润是8450元. $ \therefore $8000元的利润不是该天的最大利润.
把$ y = 8000 代入 y = - \frac { 1 } { 2 } ( x - 50 ) ^ { 2 } + 8450 $,得$ 8000 = - \frac { 1 } { 2 } ( x - 50 ) ^ { 2 } + 8450 $. 解得$ x _ { 1 } = 20 $,$ x _ { 2 } = 80 $.
$ \therefore 140 + x _ { 1 } = 160 $,$ 140 + x _ { 2 } = 220 $.
$ \therefore $此时每间客房每天定价为160元或220元.
(3)当$ y = 0 $时,得$ 0 = - \frac { 1 } { 2 } ( x - 50 ) ^ { 2 } + 8450 $,解得$ x _ { 1 } = - 80 $,$ x _ { 2 } = 180 $.
$ \therefore 140 + ( - 80 ) = 60 $,$ 140 + 180 = 320 $.
$ \therefore $当每间客房每天的价格定在超过60元而又低于320元时,宾馆就可获利.