《2025年南方新课堂金牌学案九年级数学上册人教版》

例2 如图,在Rt△ACB中,$∠C = 90°$,$AC = 8m$,$CB = 6m$,点P,Q同时由A,B两点出发分别沿AC,BC方向向点C匀速移动,它们的速度都是1m/s,几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半？

答案： 分析
设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半,△PCQ也是直角三角形. 根据已知可列出等式.
解 设x秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半.
根据题意,得$\frac{1}{2}(8 - x)(6 - x)= \frac{1}{2}×\frac{1}{2}×8×6$.
整理,得$x^{2}-14x + 24 = 0$,$(x - 7)^{2}= 25$,即$x_{1}= 12$,$x_{2}= 2$.
$x_{1}= 12$,$x_{2}= 2$都是原方程的根,但$x_{1}= 12$不合题意,舍去.
故2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半.

1. 一个长方形,如果将长缩短5cm,宽增加3cm,变形为正方形,且面积比长方形的面积减少$5cm^2,$则正方形的边长为(10cm).
A.7cm
B.10cm
C.15cm
D.20cm

答案： B. 解析：设长方形的长为x cm，宽为y cm. 依题意，可得y+3=x-5，xy-5=(x-5)(y+3). 联立方程组，得x=15，y=7. 所以正方形的边长为15-5=10（cm）.

2. 如图,宽为50cm的矩形图案由10个全等的小长方形拼成,则每个小长方形的面积为(400cm²).

$A.400cm^2$　　
$B.500cm^2$　　
$C.600cm^2$　　
$D.4000cm^2$　　

答案： A. 解析：设小长方形的宽为x cm，则长为（50-x）cm. 依题意，可知10x(50-x)=50×2(50-x). 整理，得x²-60x+500=0. 解得x₁=10，x₂=50. 若x=50，那么小长方形的长为0，不符合题意. 把x=10代入，得10×(50-10)=400（cm²）.

3. 已知直角三角形三边长为连续的偶数,则它的边长分别是6，8，10.

答案： 6，8，10. 解析：设直角三角形的边长分别为x-2，x，x+2，则(x-2)²+x²=(x+2)². 整理，得x²-8x=0. 解得x₁=0，x₂=8. x₁=0不符合题意，应舍去.
∴直角三角形的三边分别为6，8，10.

4. 体积为100立方米的长方体,它的高为5米,若它的长是宽的5倍,求它的长和宽. 如果设长方体的宽为x米,根据题意可列方程：5x×x×5=100.

答案： 5x×x×5x=100.