《2025年南方新课堂金牌学案九年级数学上册人教版》

例 已知函数$y = (m + 2)x^{m^{2} + m - 4} - 8x + 10是关于x$的二次函数.
(1)求满足条件的$m$值；
(2)$m$为何值时,抛物线有最低点？这个最低点的坐标是多少？这时当$x$为何值时,$y随x$的增大而增大？
(3)$m$为何值时,函数有最大值？最大值是多少？这时当$x$为何值时,$y随x$的增大而减小？

答案： 解
(1)依题意,得$m + 2 \neq 0$,$m^{2} + m - 4 = 2$,$\therefore m_{1} = - 3$,$m_{2} = 2$.
(2)当$m = 2$时,抛物线为$y = 4x^{2} - 8x + 10 = 4(x - 1)^{2} + 6$,它的开口向上,有最低点,这个最低点就是顶点$(1, 6)$. 当$x ＞ 1$时,$y随x$的增大而增大.
(3)当$m = - 3$时,抛物线为$y = - x^{2} - 8x + 10 = - (x + 4)^{2} + 26$,它的开口向下,有最高点,即函数有最大值,且这个最大值是$y = 26$. 当$x ＞ - 4$时,$y随x$的增大而减小.

1. 用配方法求下列抛物线的顶点坐标：
(1)$y = x^{2} + 4x + 7$；
(2)$y = - 2x^{2} - 4x + 1$.

答案：
(1) $y=x^{2}+4x+2^{2}-2^{2}+7=(x+2)^{2}+3$，顶点$(-2,3)$。
(2) $y=-2(x^{2}-2x)+1=-2(x^{2}-2x+1-1)+1=-2(x-1)^{2}+3$，顶点$(1,3)$。

2. 用配方法和顶点坐标公式法求抛物线$y = 3x^{2} + 2x$的顶点坐标和对称轴.

答案： 配方得$y=3\left(x+\dfrac{1}{3}\right)^{2}-\dfrac{1}{3}$，顶点$\left(-\dfrac{1}{3},-\dfrac{1}{3}\right)$，对称轴$x=-\dfrac{1}{3}$。由顶点坐标公式$\left(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^{2}}{4a}\right)$得顶点$\left(-\dfrac{1}{3},-\dfrac{1}{3}\right)$，对称轴$x=-\dfrac{1}{3}$。

3. 将抛物线$y = x^{2} + 4x + 3$化为$y = a(x - h)^{2} + k$的形式为$y=(x+2)^{2}-1$.

答案： $y=(x+2)^{2}-1$

1. 填表：

答案：

2. 抛物线$y = 2x^{2} + bx + c的顶点坐标是(1, - 2)$,则$b = $$-4$,$c = $$0$.

答案： $-4$；$0$

3. 已知二次函数$y = - 2x^{2} - 8x - 6$,当$x$＜-2时,$y随x$的增大而增大；当$x = $-2时,$y$有最大值,是2.

答案： $＜-2$；$-2$；大；$2$