《2025年南方新课堂金牌学案九年级数学上册人教版》

2. 某商家独家销售具有地方特色的某种商品,每件进价为40元. 经过市场调查,一周的销售量y(件)与销售单价x(元/件)$ ( x \geq 50 ) $的关系如下表：

(1)直接写出y与x的函数关系式：y=-10x+1000；
(2)设一周的销售利润为s元,请求出s与x的函数关系式,并确定销售单价在什么范围内变化时,一周的销售利润随着销售单价的增大而增大；
s=y(x-40)=-10x²+1400x-40000，当 50≤x≤70 时，一周的销售利润随着销售单价的增大而增大.
(3)某地区地震牵动亿万人民的心,商家决定将该商品一周的销售利润全部寄往灾区. 在商家购进该商品的货款不超过10 000元的情况下,请你求出该商家最大捐款数额是多少元.
由 40(-10x+1000)≤10000 得 x≥75.
∴当 x=75 元/件时，利润最大，为 8750 元.
∴该商家最大捐款数额是 8750 元.

答案： （1）y=-10x+1000.（2）s=y(x-40)=-10x²+1400x-40000，当 50≤x≤70 时，一周的销售利润随着销售单价的增大而增大.（3）由 40(-10x+1000)≤10000 得 x≥75.
∴当 x=75 元/件时，利润最大，为 8750 元.
∴该商家最大捐款数额是 8750 元.

1. 某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策,使农民收入大幅度增加. 某农户生产经销一种农产品,已知这种产品的成本价为每千克20元. 市场调查发现,该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系：$ y = - 2 x + 80 $. 设这种产品每天的销售利润为w元.
(1)求w与x之间的函数关系式；
(2)该产品销售价定为每千克多少元时,每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元,该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为每千克多少元？

答案： （1）
∵w=(x-20)·y=(x-20)(-2x+80)=-2x²+120x-1600，
∴w 与 x 的函数关系式为 w=-2x²+120x-1600.（2）w=-2x²+120x-1600=-2(x-30)²+200.
∴当 x=30 时，w 有最大值，最大值为 200.
∴该产品销售价定为每千克 30 元时，每天销售利润最大，最大销售利润是 200 元.（3）当 w=150 时，可得方程 -2(x-30)²+200=150.解得 x₁=25，x₂=35.
∵35＞28，
∴x₂=35 不符合题意，应舍去.
∴该农户想要每天获得 150 元的销售利润，销售价应定为每千克 25 元.

2. 某市某镇的一种特产由于运输原因,长期只能在当地销售. 当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元,可获得利润$ P = - \frac { 1 } { 100 } ( x - 60 ) ^ { 2 } + 41 $(万元). 当地政府拟在规划中加快开发该特产的销售,其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资,在实施规划5年的前两年中,每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路,两年修成,通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的三年中,该特产既在本地销售,也在外地销售. 在外地销售的投资收益为：每投入x万元,可获利润$ Q = - \frac { 99 } { 100 } ( 100 - x ) ^ { 2 } + \frac { 294 } { 5 } ( 100 - x ) + 160 $(万元).
(1)若不进行开发,五年所获利润的最大值是多少？
(2)若按方案实施,五年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少？
(3)根据(1)(2),该方案是否具有实施价值？

答案： （1）当 x=60 时，P 最大且为 41，
∴五年获利最大值是 41×5=205（万元）.（2）前两年：0≤x≤50，此时因为 P 随 x 增大而增大，所以 x=50 时，P 值最大且为 40 万元，
∴这两年获利最大为 40×2=80（万元）.后三年：设每年获利为 y 万元，若当地投资额为 x 万元，则外地投资额为（100-x）万元，
∴y=P+Q=[-1/100(x-60)²+41]+[-99/100x²+294/5x+160]=-x²+60x+165=-(x-30)²+1065，表明 x=30 时，y 最大且为 1065，那么三年获利最大为 1065×3=3195（万元），
∴五年获利最大值为 80+3195-50×2=3175（万元）.（3）有极大的实施价值.