《2025年南方新课堂金牌学案九年级数学上册人教版》

例2 用长为$20cm$的铁丝,折成一个矩形. 设它的一边长为$x cm$,面积为$y cm^{2}$.
(1)求出$y与x$的函数关系式；
(2)当边长$x = 3$,矩形的面积$y$是多少？
(3)当边长$x$为多少时,矩形的面积为$25cm^{2}$？

答案： 解
(1)$y = x(10 - x)= -x^{2}+10x$.
(2)当$x = 3$时,$y= -9 + 30 = 21$.
(3)当$y = 25$时,$-x^{2}+10x = 25$,$\therefore x = 5$.

1. 下列函数中,是二次函数的是(B).
A.$y= \frac{1}{x^{2}}$
B.$y= (x + 1)^{2}-3$
C.$y= (x + 1)^{2}-x^{2}$
D.$y = 2x - 3$

答案： B.

2. 若函数$y= (m + 1)x^{2}+2x + 1$是二次函数,则常数$m$的取值范围是(D).
A.$m= -1$
B.$m＞-1$
C.$m＜-1$
D.$m≠-1$

答案： D.

3. 二次函数$y = 2x(1 - x)$的一般形式为$ y=-2x^{2}+2x $,一次项系数为2,常数项为0.

答案： $ y=-2x^{2}+2x $; 2; 0.

4. 某厂今年$1月份新产品的研发资金为a$元,以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率是$x$,则该厂今年$3月份新产品的研发资金y$(元)关于$x$的函数关系式为$ y=a(1+x)^{2} $.

答案： $ y=a(1+x)^{2} $.

写出下列各函数的关系式,并说明是什么函数：
(1)直角边的和为$20$,其中一条直角边长为$x$,直角三角形的面积为$S$,写出$S和x$之间的函数关系式；
(2)写出圆的面积$S与半径x$的函数关系式；
(3)写出正方形的面积$y与边长x$之间的函数关系式；
(4)写出圆的周长$C与半径r$之间的函数关系式.

答案： （1）$ S=-\frac{1}{2}x^{2}+10x $，二次函数. （2）$ S=\pi x^{2} $，二次函数. （3）$ y=x^{2} $，二次函数. （4）$ C=2\pi r $，一次函数.

2022年北京冬奥会举办期间,冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受广大人民的喜爱,某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆,每个纪念品进价$40$元,规定销售单价不低于$44$元,且不高于$52$元. 销售期间发现,当销售单价定为$44$元时,每天可售出$300$个,销售单价每上涨$1$元,每天销量减少$10$个. 现商家决定提价销售,设商家每天销售纪念品获得的利润$w$元,每天销售量为$y$个,销售单价为$x$元.
(1)直接写出$y与x之间的函数关系式和自变量x$的取值范围；
(2)求$w与x之间的函数关系式及自变量x$的取值范围；
(3)该店主热心公益事业,决定从每天的利润中捐出$200$元给希望工程,若捐款后每天剩余利润为$2200$元,求销售单价$x$.

答案： （1）$ y=-10x+740 $（$ 44\leqslant x\leqslant 52 $）. （2）解：根据题意，得$ w=(-10x+740)(x-40)=-10x^{2}+1140x-29600 $，即$ w=-10x^{2}+1140x-29600 $（$ 44\leqslant x\leqslant 52 $）. （3）解：由题意，可得$ -10x^{2}+1140x-29600=2200 $，解得$ x_{1}=64 $（舍去），$ x_{2}=50 $. 答：销售单价是50元.