《2025年南方新课堂金牌学案九年级数学上册人教版》

例2 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+2x + m = 0 $.
(1)当 $ m = 3 $ 时,判断方程的根的情况；
(2)当 $ m = -3 $ 时,求方程的根.

答案： 解
(1)$ \because $ 当 $ m = 3 $ 时,$ \Delta = b^{2}-4ac = 2^{2}-4 × 3 = -8 ＜ 0 $,
$ \therefore $ 原方程无实数根.
(2)当 $ m = -3 $ 时,原方程变为 $ x^{2}+2x - 3 = 0 $,此时,$ a = 1 $,$ b = 2 $,$ c = -3 $.
$ \therefore x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^{2}-4 × 1 × (-3)}}{2 × 1} $.
$ \therefore x_{1} = 1 $,$ x_{2} = -3 $.

1. 方程 $ 2x^{2}+3x = 1 $ 中,$ b^{2}-4ac $ 的值为(17).
A.1
B.-1
C.17
D.-17

答案： C. 解析：方程化为一般形式，得$2x^{2}+3x-1=0$. 因为$a=2$，$b=3$，$c=-1$，所以$b^{2}-4ac=3^{2}-4×2×(-1)=17$.

2. 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+8x + q = 0 $ 有两个不相等的实数根,则 $ q $ 的取值范围(A).
A.$ q ＜ 16 $
B.$ q ＞ 16 $
C.$ q \leq 4 $
D.$ q \geq 4 $

答案： A.

3. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-2\sqrt{3}x + k = 0 $ 有两个相等的实数根,则 $ k $ 值为3.

答案： 3. 解析：
∵关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2\sqrt{3}x+k=0$有两个相等的实数根，
∴$\Delta=(-2\sqrt{3})^{2}-4k=0$，解得$k=3$.

4. 如果关于 $ x $ 的一元二次方程 $ kx^{2}+2x - 3 = 0 $ 有两个不相等的实数根,那么 $ k $ 的取值范围是$k＞-\frac{1}{3}$且$k≠0$.

答案： $k＞-\frac{1}{3}$且$k≠0$.

5. 用公式法解下列方程：
(1)$ x^{2}-3x - 1 = 0 $；(2)$ x(x + 4) = 8x + 12 $.

答案： （1）$a=1$，$b=-3$，$c=-1$，
∴$\Delta=b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4×1×(-1)=13＞0$.
∴$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}$.
∴$x_{1}=\frac{3+\sqrt{13}}{2}$，$x_{2}=\frac{3-\sqrt{13}}{2}$.
（2）整理，得$x^{2}-4x-12=0$，
∴$a=1$，$b=-4$，$c=-12$.
∴$\Delta=b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4×1×(-12)=64＞0$.
∴$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{4\pm\sqrt{64}}{2}=\frac{4\pm8}{2}$.
∴$x_{1}=6$，$x_{2}=-2$.

1. 如果关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c = 0 $ 有两个实数根,且其中一个根为另外一个根的2倍,则称这样的方程为“倍根方程”,以下关于“倍根方程”的说法,正确的有②③④(填序号).
①方程 $ x^{2}-x - 2 = 0 $ 是“倍根方程”；
②若 $ (x - 2)(mx + n) = 0 $ 是“倍根方程”,则 $ 4m^{2}+5mn + n^{2} = 0 $；
③若 $ p $,$ q $ 满足 $ pq = 2 $,则关于 $ x $ 的方程 $ px^{2}+3x + q = 0 $ 是“倍根方程”；
④若方程 $ ax^{2}+bx + c = 0 $ 是“倍根方程”,则必有 $ 2b^{2} = 9ac $.

答案： ②③④.

2. 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-ax + a = 0 $ 有两个相等的实数根,求代数式 $ \frac{1}{a^{2}-4} \cdot \frac{a + 2}{a - 2} $ 的值.

答案：
∵关于$x$的一元二次方程$x^{2}-ax+a=0$有两个相等的实数根，
∴$\Delta=(-a)^{2}-4a=0$，即$a^{2}-4a=0$，
∴$\frac{1}{a^{2}-4}\cdot\frac{a+2}{a-2}=\frac{1}{(a+2)(a-2)}\cdot\frac{a+2}{a-2}=\frac{1}{a^{2}-4a+4}=\frac{1}{4}$.