《2025年南方新课堂金牌学案九年级数学上册人教版》

4. 如图,在Rt△ABC中,∠ABC = 90°,点M是AC的中点,以AB为直径作⊙O分别交AC,BM于点D,E,连接DE.
(1)求证：MD = ME；
(2)连接OD,OE,当∠C = 30°时,求证：四边形ODME是菱形.

答案： （1）在$Rt\triangle ABC$中，点$M$是$AC$的中点，$\therefore MA = MB$，$\therefore \angle A=\angle MBA$. $\because$ 四边形$ABED$是圆内接四边形，$\therefore \angle ADE +\angle ABE=180^{\circ}$. 而$\angle ADE+\angle MDE = 180^{\circ}$，$\therefore \angle MDE=\angle MBA$. 同理可得：$\angle MED=\angle A$，$\therefore \angle MDE=\angle MED$，$\therefore MD = ME$.
（2）$\because \angle C = 30^{\circ}$，$\therefore \angle A=60^{\circ}$，$\therefore \angle ABM=60^{\circ}$，$\therefore \triangle OAD$和$\triangle OBE$为等边三角形，$\therefore \angle BOE=60^{\circ}$，$\therefore \angle BOE=\angle A$，$\therefore OE// AC$. 同理可得$OD// BM$，$\therefore$ 四边形$DOEM$为平行四边形. 又$\because OD = OE$，$\therefore$ 四边形$ODME$是菱形.

1. 如图,C,D是⊙O上直径AB两侧的两点,设∠ABC = 25°,则∠BDC = (D).

A.85°
B.75°
C.70°
D.65°

答案： D.

2. 如图,在⊙O中,弦AB = 3 cm,∠ACB = 60°,求⊙O的直径.

答案： 连接$OA$，$OB$，过$O$点作$OE\perp AB$于点$E$. 则$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{3}{2}$. $\because \angle ACB = 60^{\circ}$，$\therefore \angle AOB=120^{\circ}$，$\therefore \angle OAE=30^{\circ}$. 设$OE = x$，则$OA=2x$. 在$Rt\triangle AOE$中，$AE^{2}+EO^{2}=OA^{2}$，$(\frac{3}{2})^{2}+x^{2}=(2x)^{2}$，解得$x=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\therefore OA=\sqrt{3}$，$\therefore \odot O$的直径为$2\sqrt{3}\ cm$.

如图,⊙O的内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别交于点E,F.
(1)若∠E = ∠F,求证：∠ADC = ∠ABC；
(2)若∠E = ∠F = 42°,求∠A的度数；
(3)若∠E = α,∠F = β,且α ≠ β,请用含α,β的代数式表示∠A的大小.

答案：
（1）$\because \angle E=\angle F$，$\angle DCE=\angle BCF$，$\angle ADC=\angle E +\angle DCE$，$\angle ABC=\angle F+\angle BCF$，$\therefore \angle ADC=\angle ABC$.
（2）解：由（1）可知，$\angle ADC=\angle ABC$，$\because \angle ABC +\angle ADC=180^{\circ}$，$\therefore \angle ABC=\angle ADC=90^{\circ}$，$\therefore \angle A=180^{\circ}-\angle ABC-\angle E=180^{\circ}-90^{\circ}-42^{\circ}=48^{\circ}$.
（3）解：如图，连接$EF$，$\because$ 四边形$ABCD$为$\odot O$的内接四边形， $\therefore \angle ECD=\angle A$. $\because \angle ECD=\angle 1+\angle 2$，$\therefore \angle A=\angle 1+\angle 2$. $\because \angle A+\angle 1+\angle 2+\angle AEB+\angle AFD=180^{\circ}$，$\therefore 2\angle A+\alpha+\beta=180^{\circ}$，$\therefore \angle A=90^{\circ}-\frac{\alpha+\beta}{2}$.