《2025年南方新课堂金牌学案九年级数学上册人教版》

1. 如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面 $ AB $ 的宽为 $ 20 $ m,当水位上升 $ 3 $ m 时,水面 $ CD $ 的宽是 $ 10 $ m.
(1)建立如图所示的直角坐标系,求此抛物线的解析式；
(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发,需经过此桥开往乙地,已知甲地距此桥 $ 280 $ km(桥长忽略不计). 货车正以 $ 40 $ km/h 的速度开往乙地,当行驶 $ 1 $ h 时,忽然接到紧急通知：前方连降暴雨,造成水位以 $ 0.25 $ m/h 的速度持续上涨(货车接到通知时水位在 $ CD $ 处,当水位达到桥拱最高点时,禁止车辆通行). 如果货车按原来速度行驶,能否安全通过此桥？若能,请说明理由；若不能,要使货车安全通过此桥,速度应超过多少？

答案：
(1)设$y = ax^{2}$，由D(5,b)，B(10,b - 3)，得b = 25a，b - 3 = 100a，
∴$a = -\dfrac{1}{25}$.
∴解析式为$y = -\dfrac{1}{25}x^{2}$.
(2)
∵货车从接到通知到行驶到此桥需280÷40 - 1 = 6(h). 当x = 5时，y = -1，即水位CD到桥最高点为1m，
∴水上升到桥顶需1÷0.25 = 4(h)，
∴不能安全通过.
∵(280 - 40)÷4 = 60(km/h)，
∴要使货车安全通过此桥，速度应超过60km/h.

2. 如图,在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,$ A $,$ B $ 为 $ x $ 轴上的两点,$ C $,$ D $ 为 $ y $ 轴上的两点,经过点 $ A $,$ C $,$ B $ 的抛物线的一部分 $ C_{1} $ 与经过点 $ A $,$ D $,$ B $ 的抛物线的一部分 $ C_{2} $ 组合成一条封闭曲线,我们把这条封闭曲线称为“蛋线”. 已知点 $ C $ 的坐标为 $ (0, -\frac{3}{2}) $,点 $ M $ 是抛物线 $ C_{2}: y = mx^{2} - 2mx - 3m (m ＜ 0) $ 的顶点.
(1)求 $ A $,$ B $ 两点的坐标；
(2)“蛋线”在第四象限上是否存在一点 $ P $,使得 $ \triangle PBC $ 的面积最大？若存在,求出 $ \triangle PBC $ 面积的最大值；若不存在,请说明理由；
(3)当 $ \triangle BDM $ 为直角三角形时,求 $ m $ 的值.

答案：
(1)令y = 0，则$mx^{2}-2mx - 3m = 0$.
∵m ＜ 0，
∴$x^{2}-2x - 3 = 0$. 解得$x_{1} = -1$，$x_{2} = 3$.
∴A(-1,0)，B(3,0).
(2)存在. 理由如下：设抛物线$C_{1}$的表达式为$y = a(x + 1)(x - 3)(a\neq0)$，把$C\left(0,-\dfrac{3}{2}\right)$代入可得$a = \dfrac{1}{2}$.
∴$C_{1}:y = \dfrac{1}{2}x^{2}-x-\dfrac{3}{2}$. 设$P\left(n,\dfrac{1}{2}n^{2}-n-\dfrac{3}{2}\right)$，则$S_{\triangle PBC}=S_{\triangle POC}+S_{\triangle BOP}-S_{\triangle BOC}=-\dfrac{3}{4}\left(n-\dfrac{3}{2}\right)^{2}+\dfrac{27}{16}$.
∵$a = -\dfrac{3}{4}＜0$，
∴当$n = \dfrac{3}{2}$时，$S_{\triangle PBC}$最大，为$\dfrac{27}{16}$.
(3)由$C_{2}$可知：B(3,0)，D(0,-3m)，M(1,-4m). $BD^{2}=9m^{2}+9$，$BM^{2}=16m^{2}+4$，$DM^{2}=m^{2}+1$.
∵$\angle MBD＜90^{\circ}$，
∴讨论$\angle BMD = 90^{\circ}$和$\angle BDM = 90^{\circ}$两种情况. ①当$\angle BMD = 90^{\circ}$时，$BM^{2}+DM^{2}=BD^{2}$，$16m^{2}+4+m^{2}+1 = 9m^{2}+9$. 解得$m_{1}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$m_{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$（舍去）. ②当$\angle BDM = 90^{\circ}$时，$BD^{2}+DM^{2}=BM^{2}$，$9m^{2}+9+m^{2}+1 = 16m^{2}+4$. 解得$m_{1}=-1$，$m_{2}=1$（舍去）. 综上$m = -1$或$m = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$时，$\triangle BDM$为直角三角形.