《2025年南方新课堂金牌学案九年级数学上册人教版》

1. 在方程 $ ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0) $ 中,两个根 $ x_{1},x_{2} $ 和系数 $ a,b,c $ 的关系为 $ x_{1}+x_{2}= $$-\frac{b}{a}$, $ x_{1}\cdot x_{2}= $$\frac{c}{a}$.

答案： $-\frac{b}{a}$，$\frac{c}{a}$

2. 设 $ x_{1},x_{2} $ 是方程 $ x^{2}-4x + 2 = 0 $ 的两个实数根,则 $ x_{1}+x_{2}= $ 4, $ x_{1}\cdot x_{2}= $ 2.

答案： $4$；$2$

3. 已知方程 $ x^{2}+kx - 2 = 0 $ 的一个根是 $ 1 $,则另一个根是 -2.

答案： 【解析】：设方程的另一个根为$x_1$，根据根与系数的关系，两根之积为$-2$，即$1× x_1=-2$，解得$x_1=-2$。
【答案】：-2

4. 已知 $ x_{1},x_{2} $ 是方程 $ x^{2}-x - 5 = 0 $ 的两实数根,则 $ \frac{x_{1}x_{2}}{x_{1}+x_{2}} $ 的值为 -5.

答案： 【解析】：对于方程 $x^2 - x - 5 = 0$，根据根与系数的关系，得 $x_1 + x_2 = 1$，$x_1x_2 = -5$。则 $\frac{x_1x_2}{x_1 + x_2} = \frac{-5}{1} = -5$。
【答案】：-5

例1 已知方程 $ x^{2}-2x - c = 0 $ 的一个根是 $ 3 $,求方程的另一个根及 $ c $ 的值.

答案： 解 设方程的另一个根是 $ x_{0} $,则 $ 3 + x_{0}= 2 $.
解得 $ x_{0}= -1 $.
$ \because 3x_{0}= -c $, $ \therefore 3×(-1)= -c $.
$ \therefore c = 3 $.
故方程的另一个根是 $ -1 $, $ c = 3 $.

例2 已知方程 $ x^{2}-5x - 6 = 0 $ 的根是 $ x_{1} $ 和 $ x_{2} $,求下列式子的值.
(1) $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{1}x_{2} $； (2) $ \frac{x_{1}}{x_{2}}+\frac{x_{2}}{x_{1}} $.

答案： 解 由一元二次方程根与系数的关系,知 $ x_{1}+x_{2}= 5 $, $ x_{1}x_{2}= -6 $.
(1) 原式 $ =x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2x_{1}x_{2}-x_{1}x_{2} $
$ =(x_{1}+x_{2})^{2}-x_{1}x_{2} $
$ =5^{2}-(-6) $
$ =31 $.
(2) 原式 $ =\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{1}x_{2}}= \frac{(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}}= \frac{5^{2}-2×(-6)}{-6}= -\frac{37}{6} $.