《2025年南方新课堂金牌学案九年级数学上册人教版》

1. 求二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的解析式,关键是求出待定系数$a$，$b$，$c$的值. 由二次函数图象上的三个点的坐标列出关于 $ a $,$ b $,$ c $ 的三元一次方程组,并求出 $ a $,$ b $,$ c $ 的值,就可以写出二次函数的解析式.

答案： $a$，$b$，$c$ ；三元一次方程组

2. 二次函数 $ y = ax^{2} + bx $ 或 $ y = ax^{2} + c $ 的解析式,已知二次函数图象上的两个点的坐标就可以求得.

答案： 两

3. 二次函数 $ y = ax^{2} $ 的解析式,已知二次函数图象上的一个点的坐标就可以求得. 这个点可以是原点吗？不可以

答案： 一；不可以

例 1 已知抛物线经过点 $ A(-1,0) $,$ B(4,5) $,$ C(0,-3) $,求抛物线的解析式.

答案： 解 设所求抛物线的解析式为 $ y = ax^{2} + bx + c $,
得 $ \left\{ \begin{array} { l } { a - b + c = 0, } \\ { 16 a + 4 b + c = 5, } \\ { 0 + 0 + c = - 3. } \end{array} \right. $
解得 $ a = 1 $,$ b = - 2 $,$ c = - 3 $.
所以抛物线的解析式为 $ y = x^{2} - 2 x - 3 $.

例 2 已知抛物线的顶点为 $ (1,-4) $,且过点 $ (2,-3) $,求抛物线的解析式.

答案： 解 设所求抛物线的解析式为 $ y = a(x - h)^{2} + k $,
因为顶点 $ (h,k) $ 为 $ (1,-4) $,所以 $ - 3 = a(2 - 1)^{2} + (-4) $.
解得 $ a = 1 $.
所以抛物线的解析式为 $ y = (x - 1)^{2} - 4 $,即 $ y = x^{2} - 2 x - 3 $.