《2025年南方新课堂金牌学案九年级数学上册人教版》

2. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数与形,本是相倚依,焉能分作两边飞. 数缺形时少直观,形少数时难入微；数形结合百般好,割裂分家万事非. 切莫忘,几何代数统一体,永远联系,切莫分离！”数形结合是解决数学问题的重要思想方法. 请结合所学的数学知识解决下列问题.
在平面直角坐标系中,若点的横坐标、纵坐标都为整数,则称这样的点为整点.
设函数 $y= (k + 2)x^{2}-(3k - 2)x + 2k - 4$(实数 $k$ 为常数)的图象为图象 $T$.
(1) 求证：无论 $k$ 取什么实数,图象 $T$ 与 $x$ 轴总有公共点；
(2) 是否存在非负整数 $k$,使图象 $T$ 与 $x$ 轴的公共点都是整点？若存在,求所有非负整数 $k$ 的值；若不存在,请说明理由.

答案： （1）证明：①当$k+2=0$，即$k=-2$时，函数$y=8x-8$为一次函数. 当$y=0$时，$8x-8=0$，解得$x=1$.
∴图象T与x轴有公共点$(1,0)$；②当$k+2≠0$，即$k≠-2$时，函数$y=(k+2)x^{2}-(3k-2)x+2k-4$为二次函数，当$y=0$时，$(k+2)x^{2}-(3k-2)x+2k-4=0$为一元二次方程. $\Delta=[-(3k-2)]^{2}-4(k+2)(2k-4)=k^{2}-12k+36=(k-6)^{2}$.
∵$(k-6)^{2}\geq0$，
∴$\Delta\geq0$.
∴一元二次方程$(k+2)x^{2}-(3k-2)x+2k-4=0$总有实数根，
∴图象T与x轴总有公共点. 综上所述，无论k取什么实数，图象T与x轴总有公共点.（2）解：存在非负整数k，使图象T与x轴的公共点都是整点. 理由如下：①当$k=-2$时，由（1）知，图象T与x轴有公共点$(1,0)$，不符合题意；②当$k≠-2$时，函数$y=(k+2)x^{2}-(3k-2)x+2k-4$为二次函数. 当$y=0$时，$(k+2)x^{2}-(3k-2)x+2k-4=0$为一元二次方程，将方程左边分解因式，可得：$(x-1)[(k+2)x-(2k-4)]=0$，
∴$x-1=0$或$(k+2)x-(2k-4)=0$，
∴$x_{1}=1$或$x_{2}=\frac{2k-4}{k+2}$，
∵$x_{2}=\frac{2k-4}{k+2}=2-\frac{8}{k+2}$，k是非负整数，
∴$k\geq0$，
∴$k+2\geq2$，
∴当$k+2$是8的因数且$k+2\geq2$时，$x_{2}=\frac{2k-4}{k+2}$是整数，
∴$k+2=2$或$k+2=4$或$k+2=8$，
∴$k=0$或$k=2$或$k=6$，综上所述，存在非负整数k，使图象T与x轴的公共点都是整点，非负整数k的值为0或2或6.