《2025年南方新课堂金牌学案九年级数学上册人教版》

1. 已知抛物线过点 $ (-1,0) $,$ (3,0) $, $ (1,-4) $,则该抛物线解析式为$ y=x^{2}-2x-3 $.

答案： $ y=x^{2}-2x-3 $.

2. 设直线 $ x = 1 $ 是函数 $ y = ax^{2} + bx + c $($ a $,$ b $,$ c $ 是实数)的图象的对称轴,且 $ 2 a - b = - 4 $,则 $ a = $$-1$,$ b = $$2$.

答案： $ a=-1 $, $ b=2 $.

1. 已知抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 关于直线 $ x = 1 $ 轴对称,它的最低点的纵坐标为 $ - 1 $,且抛物线与 $ y $ 轴交于点 $ (0,1) $,求这个二次函数的解析式.

答案： 依题意，得抛物线的顶点坐标为（1，-1），设抛物线为$ y=a(x-1)^{2}-1 $，把点（0，1）代入，得$ 1=a(0-1)^{2}-1 $，$\therefore a=2$. 所以这个二次函数的解析式为$ y=2(x-1)^{2}-1 $.

2. 已知当 $ x = 1 $ 时,二次函数有最大值 $ 2 $,且函数图象过点 $ (2,-3) $,求此二次函数的解析式.

答案： 因为当$ x=1 $时，二次函数有最大值2，所以顶点坐标为（1，2）. 设此二次函数的解析式为$ y=a(x-1)^{2}+2 $. 把点（2，-3）代入，得$ -3=a(2-1)^{2}+2 $，$\therefore a=-5$. 所以此二次函数的解析式为$ y=-5(x-1)^{2}+2 $.

1. 已知抛物线 $ y = - x^{2} + 6 x - 5 $ 的顶点为 $ P $,对称轴 $ l $ 与 $ x $ 轴交于点 $ A $. $ N $ 是 $ PA $ 的中点, $ M(m,n) $ 在抛物线上, $ M $ 关于直线 $ l $ 的对称点为 $ B $,$ M $ 关于点 $ N $ 的对称点为 $ C $. 当 $ 1 \leq m \leq 3 $ 时,线段 $ BC $ 的长随 $ m $ 的增大而发生的变化是：当$ 1\leqslant m＜3-\sqrt{2} $时，$ BC $的长随$ m $的增大而减小；当$ 3-\sqrt{2}＜m\leqslant 3 $时，$ BC $的长随$ m $的增大而增大..

答案： 当$ 1\leqslant m＜3-\sqrt{2} $时，$ BC $的长随$ m $的增大而减小；当$ 3-\sqrt{2}＜m\leqslant 3 $时，$ BC $的长随$ m $的增大而增大.

2. 如图,抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 与 $ x $ 轴相交于 $ A $,$ B $ 两点($ A $,$ B $ 分别在原点的左、右两侧),与 $ y $ 轴相交于点 $ C $,$ OB = OC = 4 OA $,$ \triangle ABC $ 的面积为 $ 40 $. 求：
(1) $ A $,$ B $,$ C $ 三点的坐标；
(2) 过 $ A $,$ B $,$ C $ 三点的抛物线的解析式.

答案： （1）$\because OB=OC=4OA$，$\therefore$设$ OA=k $，则$ OB=OC=4k $. $\because S_{\triangle ABC}=40$，$\therefore \frac{1}{2}AB\cdot OC=40$. $\therefore AB\cdot OC=80$. 又$\because AB=OA+OB=5k$，$ OC=4k $，$\therefore 5k\cdot 4k=80$. $\therefore k=2$. $\therefore OA=2$，$ OB=OC=8 $. $\therefore A\left(-2,0\right)$，$ B\left(8,0\right)$，$ C\left(0,8\right)$.
（2）把$ A\left(-2,0\right)$，$ B\left(8,0\right)$，$ C\left(0,8\right)$分别代入$ y=ax^{2}+bx+c $中，得$\begin{cases}4a-2b+c=0, \\64a+8b+c=0, \\c=8,\end{cases}$解得$ a=-\frac{1}{2} $，$ b=3 $，$ c=8 $. $\therefore$过$ A $，$ B $，$ C $三点的抛物线的解析式为$ y=-\frac{1}{2}x^{2}+3x+8 $.