《2025年南方新课堂金牌学案九年级数学上册人教版》

1. 一元二次方程$x^{2}+px+q= 0$($p^{2}-4q\geq0$)的两根为$x_{1}$,$x_{2}$,求证：$x_{1}+x_{2}= -p$,$x_{1}\cdot x_{2}= q$.

答案： $\because a=1$，$b=p$，$c=q$，$\therefore \Delta =p^{2}-4q$. $\therefore x=\frac{-p\pm \sqrt{p^{2}-4q}}{2}$，即$x_{1}=\frac{-p+\sqrt{p^{2}-4q}}{2}$，$x_{2}=\frac{-p-\sqrt{p^{2}-4q}}{2}$. $\therefore x_{1}+x_{2}=\frac{-p+\sqrt{p^{2}-4q}}{2}+\frac{-p-\sqrt{p^{2}-4q}}{2}=-p$. $\therefore x_{1}\cdot x_{2}=\frac{-p+\sqrt{p^{2}-4q}}{2}\cdot \frac{-p-\sqrt{p^{2}-4q}}{2}=q$.

2. 选择适当的方法解下列方程：
(1)$x^{2}-10x= 0$；
(2)$(x-3)^{2}= 2x(x-3)$；
(3)$2x^{2}-3x+1= 0$.

答案： （1）因式分解，得$x(x-10)=0$，$\therefore x=0$或$x-10=0$. 得$x_{1}=0$，$x_{2}=10$.（2）将方程右边移到左边，得$(x-3)^{2}-2x(x-3)=0$，因式分解，得$(x-3)(x-3-2x)=0$. 即$(x-3)(-x-3)=0$. $\therefore x-3=0$或$-x-3=0$. 得$x_{1}=3$，$x_{2}=-3$.（3）因式分解，得$(x-1)(2x-1)=0$. $\therefore x-1=0$或$2x-1=0$. 得$x_{1}=1$，$x_{2}=\frac{1}{2}$.

1. 已知关于$x的方程ax^{2}+bx+1= 0$($a\neq0$)有两个相等的实数根,求$\frac{ab^{2}}{(a-2)^{2}+b^{2}-4}$的值.

答案： $\because ax^{2}+bx+1=0$（$a\neq 0$）有两个相等的实数根，$\therefore \Delta =b^{2}-4ac=0$，即$b^{2}-4a=0$，$\therefore b^{2}=4a$. $\because \frac{ab^{2}}{(a-2)^{2}+b^{2}-4}=\frac{ab^{2}}{a^{2}-4a+4+b^{2}-4}=\frac{ab^{2}}{a^{2}-4a+b^{2}}=\frac{ab^{2}}{a^{2}}$，$\because a\neq 0$，$\therefore \frac{ab^{2}}{a^{2}}=\frac{b^{2}}{a}=\frac{4a}{a}=4$.

2. 选择适当的方法解下列方程：
(1)$25(1+x)^{2}= 49$；
(2)$x(50-2x)= 300$.

答案： （1）$\because (1+x)^{2}=\frac{49}{25}$，$\therefore 1+x=\pm \sqrt{\frac{49}{25}}$，$\therefore 1+x=\frac{7}{5}$或$1+x=-\frac{7}{5}$，$\therefore x=\frac{2}{5}$或$x=-\frac{12}{5}$.（2）原方程化简为$2x^{2}-50x+300=0$，$(x-10)(x-15)=0$，$x-10=0$或$x-15=0$，$\therefore x_{1}=10$，$x_{2}=15$.