《2025年南方新课堂金牌学案九年级数学上册人教版》

5. 如图,线段$AB经过圆心O$,交$\odot O于点A$,$C$,点$D在\odot O$上,连接$AD$,$BD$,$\angle A = \angle B = 30^{\circ}$. $BD是\odot O$的切线吗？请说明理由.

答案： BD是⊙O的切线. 理由略.

6. 如图,$AB是\odot O$的直径,过点$B的直线MN是\odot O$的切线,$D$,$C是\odot O$上的两点,连接$AD$,$BD$,$CD和BC$,求证：$\angle CBN = \angle CDB$.

答案：
∵AB是⊙O的直径，MN是⊙O的切线，
∴∠CBN + ∠ABC = 90°，∠CDB + ∠ADC = 90°.
∵∠ABC = ∠ADC，
∴∠CBN = ∠CDB.

1. 如图,$\triangle ABC内接于\odot O$,$AB为\odot O$的直径,$\angle BAC = 2\angle B$,$AC = 6$,过点$A作\odot O的切线与OC的延长线交于点P$,求$PA$的长.

答案：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB = 90°. 又
∵∠BAC = 2∠B，
∴∠B = 30°，∠BAC = 60°. 又
∵OA = OC，
∴△OAC是等边三角形. 由AC = 6，知OA = 6.
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP = 90°. 在Rt△OAP中，OA = 6，∠AOC = 60°，
∴∠P = 30°，OP = 2OA = 12，
∴PA = √(12² - 6²) = 6√3.

2. 如图,点$O在\angle APB$的平分线上,$\odot O与PA相切于点C$.
(1)求证：直线$PB与\odot O$相切；
(2)$PO的延长线与\odot O交于点E$,若$\odot O的半径为3$,$PC = 4$,求弦$CE$的长.

答案： （1）提示：过点O作PB的垂线，通过比较点O与PB的距离与⊙O半径之间的大小来证明PB与⊙O相切.（2）CE = (12√5)/5. 提示：过点C作OP的垂线，利用勾股定理求解.