《2025年南方新课堂金牌学案九年级数学上册人教版》

1. 如果 $ a \cdot b = 0 $,那么$a = 0$或$b = 0$.

答案： $a = 0$；$b = 0$

2. 因式分解法要先使方程一边转化为两个一次因式相乘,另一边为0,再分别使各一次因式等于0,从而实现降次.

答案： 一次因式，0

3. 分解因式：
(1) $ x^{2} - 4x = $$x(x - 4)$； (2) $ x - 2 - x(x - 2) = $$(x - 2)(1 - x)$；
(3) $ m^{2} - 9 = $$(m + 3)(m - 3)$； (4) $ (x + 1)^{2} - 16 = $$(x + 5)(x - 3)$.

答案：
(1)$x(x - 4)$；
(2)$(x - 2)(1 - x)$；
(3)$(m + 3)(m - 3)$；
(4)$(x + 5)(x - 3)$

例1 解方程：(1) $ x^{2} - 4x = 0 $；(2) $ x^{2} - 6x + 15 = 6 $；(3) $ x^{2} - 4 = 0 $.

答案：
解
(1) 由原方程可得 $ x(x - 4) = 0 $,

$ \therefore x_{1} = 0 $,$ x_{2} = 4 $.
(2) 由原方程可得 $ x^{2} - 6x + 9 = 0 $,
$ \therefore (x - 3)^{2} = 0 $.
$ \therefore x - 3 = 0 $.
$ \therefore x = 3 $.
(3) 由原方程可得 $ (x + 2)(x - 2) = 0 $,
$ \therefore x_{1} = -2 $,$ x_{2} = 2 $.

例2 我们知道 $ x^{2} - (a + b)x + ab = (x - a)(x - b) $,那么 $ x^{2} - (a + b)x + ab = 0 $ 就可转化为 $ (x - a)(x - b) = 0 $. 请你用上面的方法解下列方程：
(1) $ x^{2} - 3x - 4 = 0 $；(2) $ x^{2} - 7x + 6 = 0 $.

答案：
分析
如果二次三项式 $ x^{2} - (a + b)x + ab $ 的 $ x^{2} $ 项是由 $ x \cdot x $ 而成,常数项 $ ab $ 是由 $ -a \cdot (-b) $ 而成,而一次项是由 $ -a \cdot x + (-b \cdot x) $ 而成,则可用因式分解法解方程.
解
(1) $ \because x^{2} - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1) $,$ \therefore (x - 4)(x + 1) = 0 $.

$ \therefore x - 4 = 0 $,或 $ x + 1 = 0 $.
$ \therefore x_{1} = 4 $,$ x_{2} = -1 $.
(2) $ \because x^{2} - 7x + 6 = (x - 6)(x - 1) $,$ \therefore (x - 6)(x - 1) = 0 $.
$ \therefore x - 6 = 0 $,或 $ x - 1 = 0 $.
$ \therefore x_{1} = 6 $,$ x_{2} = 1 $.