《2025年南方新课堂金牌学案九年级数学上册人教版》

1. 一般地,当 $ a ＞ 0 $($ a ＜ 0 $)时,抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 的顶点是最低(高)点,也就是说,当 $ x = $$-\frac{b}{2a}$时,二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 有最小(大)值$\frac{4ac - b^2}{4a}$.

答案： $-\frac{b}{2a}$；$\frac{4ac - b^2}{4a}$

2. 抛物线 $ y = a(x - h)^2 + k $ 中,当 $ x = $h时,有最小(大)值k.

答案： h；k

3. 抛物线 $ y = -(x + 1)^2 + 2 $ 中,当 $ x = $$-1$时,$ y $ 有最大值,是$2$.

答案： 当$x = - 1$时，$y$有最大值，是$2$，故依次填$-1$；最大；$2$。

4. 抛物线 $ y = \frac{1}{2}x^2 - x + 1 $ 中,当 $ x = $1时,$ y $ 有小值,是$\frac{1}{2}$.

答案： 【解析】：对于抛物线$y = \frac{1}{2}x^2 - x + 1$，$a = \frac{1}{2} ＞ 0$，抛物线开口向上，有最小值。对称轴为$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2×\frac{1}{2}} = 1$。当$x = 1$时，$y = \frac{1}{2}×1^2 - 1 + 1 = \frac{1}{2}$，所以当$x = 1$时，$y$有最小值，是$\frac{1}{2}$。
【答案】：1；小；$\frac{1}{2}$

5. 一个矩形的周长是 50,一边长是 $ x $,这个矩形的面积 $ y $ 与 $ x $ 的函数关系式是y = -x² + 25x.当 $ x = $12.5时,这个矩形的面积 $ y $ 有最大值,最大值为156.25.

答案： y = -x² + 25x；12.5；156.25

例1 小张想用篱笆围成一个周长为 60 米的矩形场地,矩形面积 $ S $(单位：平方米)随矩形一边长 $ x $(单位：米)的变化而变化.
(1) 求 $ S $ 与 $ x $ 之间的函数关系式,并写出自变量 $ x $ 的取值范围；
(2) 当 $ x $ 是多少时,矩形场地面积 $ S $ 最大？最大面积是多少？

答案： 解
(1) $ S = x(30 - x) $,即 $ S = -x^2 + 30x $($ 0 ＜ x ＜ 30 $).
(2) $ S = -x^2 + 30x = -(x^2 - 30x) = -(x^2 - 30x + 15^2 - 15^2) = -(x - 15)^2 + 225 $,
当 $ x = 15 $ 米时,矩形场地的面积最大,且最大面积是 225 平方米.

例2 一块三角形废料如图所示,$ ∠A = 30° $,$ ∠C = 90° $,$ AB = 12 $. 用这块废料剪出一个长方形 $ CDEF $,其中,点 $ D $,$ E $,$ F $ 分别在 $ AC $,$ AB $,$ BC $ 上. 要使剪出的长方形 $ CDEF $ 面积最大,点 $ E $ 应选在何处？

答案： 解 设 $ AE = x $,长方形 $ CDEF $ 的面积为 $ y $.
$ ∵ ∠A = 30° $,$ ∠C = 90° $,$ AB = 12 $,
$ ∴ DE = \frac{1}{2}AE = \frac{1}{2}x $,$ EB = 12 - x $.
在 $ Rt△EFB $ 中,$ ∠FEB = ∠A = 30° $,$ ∴ FB = \frac{1}{2}BE = \frac{1}{2}(12 - x) $.
$ ∴ EF = \sqrt{BE^2 - FB^2} = \sqrt{(12 - x^2) - [\frac{1}{2}(12 - x)]^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}(12 - x) $.
$ ∴ $ 长方形 $ CDEF $ 的面积 $ = EF·DE = \frac{\sqrt{3}}{2}(12 - x)·\frac{1}{2}x = -\frac{\sqrt{3}}{4}x^2 + 3\sqrt{3}x $.
$ ∴ y = -\frac{\sqrt{3}}{4}x^2 + 3\sqrt{3}x $($ 0 ＜ x ＜ 12 $).
配方,得 $ y = -\frac{\sqrt{3}}{4}(x - 6)^2 + 9\sqrt{3} $.
当 $ x = 6 $ 时,函数有最大值.
故要使剪出的长方形 $ CDEF $ 面积最大,点 $ E $ 应选在 $ AB $ 的中点.