《2025年南方新课堂金牌学案九年级数学上册人教版》

3. 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ kx^{2}+2x - 3 = 0 $ 有两个不相等的实数根,求 $ k $ 的取值范围.

答案：
∵关于$x$的一元二次方程$kx^{2}+2x-3=0$有两个不相等的实数根，
∴$k≠0$，且$\Delta＞0$，即$2^{2}-4×k×(-3)＞0$. 解得$k＞-\frac{1}{3}$且$k≠0$.

1. 试判断方程 $ ax^{2}-(3a - 1)x + 2a - 1 = 0 $ 的根的情况.(讨论 $ a = 0 $,$ a \neq 0 $ 的情况)

答案： 当$a=0$时，原方程为$x-1=0$，方程有一个根；当$a≠0$时，因为$\Delta=[-(3a-1)]^{2}-4a(2a-1)=a^{2}-2a+1=(a-1)^{2}\geq0$，所以原方程有两个实数根.

2. 下面是“已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+\sqrt{3}kx + k^{2}-k + 2 = 0 $,判别方程根的情况”这一题目的解答过程,请你判断是否正确,若有错误,请你写出正确的解答过程.

答案： 解：$ b^{2}-4ac = (\sqrt{3}k)^{2}-4 × 1 × (k^{2}-k + 2) = -k^{2}+4k - 8 = (k - 2)^{2}+4 $.
因为 $ (k - 2)^{2} \geq 0 $,$ (k - 2)^{2}+4 ＞ 0 $,
故原方程有两个不相等的实数根.