《2025年南方新课堂金牌学案九年级数学上册人教版》

1. 如图,①②③④所示的图形都是由图⑤所示的图形变换而来的. 试指出各个图形变换的名称.

答案： ①轴对称；②中心对称；③旋转；④平移.

2. 请你在下图的3个网格(相邻两格点的距离均为1个单位长度)中,分别设计一个图案,要求：
(1)在图①中设计的图案是面积等于$2\sqrt{3}$的轴对称图形；
(2)在图②中设计的图案是面积等于$2\sqrt{3}$的中心对称图形；
(3)在图③中设计的图案是面积等于$2\sqrt{3}$,既是中心对称图形又是轴对称图形.

答案： 本题可根据轴对称图形、中心对称图形的性质，结合三角形面积公式$S = \frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高）来设计图案。
（1）图①：设计面积等于$2\sqrt{3}$的轴对称图形
考虑等边三角形，设等边三角形的边长为$a$，根据等边三角形面积公式$S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}$，令$S = 2\sqrt{3}$，则$\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}=2\sqrt{3}$，两边同时除以$\sqrt{3}$得$\frac{1}{4}a^{2}=2$，解得$a = 2\sqrt{2}$（边长不符合格点要求，舍去）。
考虑两个边长为$2$的等边三角形组成的图形（轴对称图形），单个边长为$2$的等边三角形面积$S_{1}=\frac{\sqrt{3}}{4}×2^{2}=\sqrt{3}$，两个这样的等边三角形面积$S = 2\sqrt{3}$，可在图①中画出两个边长为$2$的等边三角形组成的轴对称图形（答案不唯一）。
（2）图②：设计面积等于$2\sqrt{3}$的中心对称图形
考虑平行四边形，设底$a = 2$，高$h = 2\sqrt{3}$（根据格点情况调整），根据平行四边形面积公式$S=ah$，这里我们可以用六个边长为$1$的等边三角形组成平行四边形（中心对称图形），单个边长为$1$的等边三角形面积$S_{0}=\frac{\sqrt{3}}{4}×1^{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$，六个这样的等边三角形面积$S = 6×\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$（不符合）。
用四个边长为$ \sqrt{3}$（根据格点构造）的等边三角形组成平行四边形（中心对称图形），单个面积$S_{单}=\frac{\sqrt{3}}{4}×(\sqrt{3})^{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$（不符合）。
我们可以构造底为$2$，高为$2\sqrt{3}$的平行四边形（利用格点，将平行四边形的底占$2$个单位长度，高占$2\sqrt{3}$个单位长度的近似格点长度），它是中心对称图形，面积$S = 2×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$（答案不唯一）。
（3）图③：设计面积等于$2\sqrt{3}$，既是中心对称图形又是轴对称图形
考虑菱形（既是中心对称图形又是轴对称图形），设菱形的两条对角线分别为$d_1$，$d_2$，根据菱形面积公式$S=\frac{1}{2}d_1d_2$，令$S = 2\sqrt{3}$。
取$d_1 = 2$，$d_2 = 2\sqrt{3}$（根据格点构造），在图③中画出对角线分别为$2$和$2\sqrt{3}$的菱形（答案不唯一）。
综上，根据上述思路，按照格点要求，分别在图①、图②、图③中画出满足条件的图案（**答案不唯一，只要满足面积和对称性质即可**）。

1. 两个点关于原点对称时,它们的坐标符号都相反,即 $ P(x,y) $ 关于原点的对称点为$ (-x,-y) $.

答案： 都相反；$ (-x,-y) $

2. 在平面直角坐标系中,点 $ P $ 在第一象限,则点 $ P $ 关于原点对称的点在第三象限.

答案： 三