《2025年南方新课堂金牌学案九年级数学上册人教版》

1. 一元二次方程 $ x^{2}+x - 2 = 0 $ 的两根之积是 (B).
A.$ -1 $
B.$ -2 $
C.$ 1 $
D.$ 2 $

答案： B. 解析：由一元二次方程根与系数的关系知$x_{1}\cdot x_{2}=\frac{c}{a}=-2$，所以选B.

2. 已知 $ 2 $ 是关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-2mx + 3m = 0 $ 的一个根,并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形 $ ABC $ 的两条边长,则三角形 $ ABC $ 的周长为 (B).
A.$ 10 $
B.$ 14 $
C.$ 10 $ 或 $ 14 $
D.$ 8 $ 或 $ 10 $

答案： B. 解析：因为2是关于x的方程$x^{2}-2mx+3m=0$的一个根，所以$2^{2}-2×2m+3m=0$，解得$m=4$，所以原方程为$x^{2}-8x+12=0$，所以方程的另外一个根为6，当等腰三角形的腰长为2时，因为$2+2=4＜6$，所以此时不能构成三角形；当等腰三角形的腰长为6时，此时能构成三角形，此时的三角形周长为$6+6+2=14$. 综上所述，故选B.

3. 若一元二次方程 $ x^{2}+2x + c = 0 $ 的一根为 $ 2 $,则另一根为-4, $ c = $-8.

答案： -4；-8. 解析：设方程的另一个根是$x_{0}$，则$x_{0}+2=-2$，解得$x_{0}=-4$. 又$\because 2x_{0}=c$，$\therefore c=-8$.

4. 已知一元二次方程 $ x^{2}-3x + k = 0 $ 的两个实数根为 $ x_{1},x_{2} $,若 $ x_{1}x_{2}+x_{1}+x_{2}= 1 $,则实数 $ k = $ -2.

答案： -2.

5. 一元二次方程 $ x^{2}+6x + 3 = 0 $ 的两根为 $ x_{1},x_{2} $,利用两根与系数的关系,求下列式子的值：
(1) $ x_{1}+x_{2} $, $ x_{1}x_{2} $； (2) $ \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}} $；
(3) $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2} $； (4) $ x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2} $.

答案： 由一元二次方程根与系数的关系知$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=-6$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=3$.（1）$x_{1}+x_{2}=-6$，$x_{1}x_{2}=3$.（2）$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=-2$.（3）$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=(-6)^{2}-2×3=30$.（4）$x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2}=x_{1}x_{2}(x_{1}+x_{2})=3×(-6)=-18$.

1. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (m - 1)x^{2}+(2m + 1)x + m = 0 $ 有实数根.
(1) 求 $ m $ 的取值范围.
(2) 若 $ x_{1},x_{2} $ 是原方程的两根,且 $ x_{1}+x_{2}= -m - 3 $,求 $ m $ 的值.

答案： （1）$\because$方程有实数根，$\therefore\Delta\geq0$，$\therefore(2m+1)^{2}-4(m-1)m\geq0$，解得$m\geq-\frac{1}{8}$，$\because$方程是一元二次方程，$\therefore m-1\neq0$，$\therefore m\neq1$. 综上所述，$m\geq-\frac{1}{8}$且$m\neq1$.（2）$\because x_{1},x_{2}$是方程的实数根，$\therefore x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$，$\therefore-\frac{2m+1}{m-1}=-m-3$，解得$m_{1}=-2$，$m_{2}=2$，$\because m\geq-\frac{1}{8}$且$m\neq1$，$\therefore m=2$.

2. 已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 $ 2x^{2}-8x + 7 = 0 $ 的两个根,则这个直角三角形的斜边是多少？

答案： 设这个方程的两个根分别为$x_{1},x_{2}$，斜边长为c，由一元二次方程根与系数的关系知$x_{1}+x_{2}=4$，$x_{1}x_{2}=\frac{7}{2}$. $c^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=4^{2}-2×\frac{7}{2}=9$. 所以斜边长$c=3$.