《2025年南方新课堂金牌学案九年级数学上册人教版》

1. 如图,$\odot O的直径AB = 4$,点$P是AB$延长线上的一点,过点$P作\odot O$的切线,切点为$C$,连接$AC$.
(1)若$\angle CPA = 30^{\circ}$,求$PC$的长；
(2)若点$P在AB$的延长线上运动,$\angle CPA的平分线交AC于点M$. $\angle CMP$的大小是否会发生变化？若变化,请说明理由；若不变化,求出$\angle CMP$的大小.

答案： （1）连接OC，
∵AB = 4，
∴OC = 2.
∵PC为⊙O的切线，
∴OC⊥PC. 又
∵∠CPO = 30°，
∴OP = 2OC = 4.
∴PC = √(OP² - OC²) = √(4² - 2²) = 2√3.（2）∠CMP的大小不会发生变化. ∠CMP = ∠A + ∠MPA = (1/2)∠COP + (1/2)∠CPO = (1/2)(∠COP + ∠CPO) = (1/2)×90° = 45°.

2. 如图,$\odot P的圆心为P(-3, 2)$,半径为$3$,直线$MN过点M(5, 0)且平行于y$轴,点$N在点M$的上方.
(1)在图中作出$\odot P关于y轴对称的\odot P'$,根据作图直接写出$\odot P'与直线MN$的位置关系；
(2)若点$N$在(1)中的$\odot P'$上,求$PN$的长.

答案：
（1）如图，⊙P'即为所求作的圆；⊙P'与直线MN相交.

 （2）设直线PP'与MN相交于点A，连接PA，PN，P'N. 在Rt△AP'N中，AN = √(P'N² - AP'²) = √(3² - 2²) = √5；在Rt△APN中，PN = √(AP² + AN²) = √(8² + (√5)²) = √69.