《2025年南方新课堂金牌学案九年级数学上册人教版》

1. 二次函数 $ y = -\frac{1}{2}(x - 3)^2 + 4 $ 中,当 $ x = $3时,函数有最大值,且这个值为4.

答案： 3；大；4

2. 将抛物线 $ y = x^2 + 4x + 10 $ 配方成 $ y = a(x - h)^2 + k $ 的形式得$y=(x + 2)^2 + 6$,当 $ x = $-2时,函数的最小值是6.

答案： $y=(x + 2)^2 + 6$；-2；小；6

3. 用总长为 48 m 的篱笆围成矩形场地,矩形面积 $ S $ 随矩形一边长 $ x $ m 的变化而变化,当 $ x $ 是多少时,场地的面积 $ S $ 最大？

答案： $S = x(24 - x)=-(x - 12)^2 + 144$，当$x = 12$时，场地面积S最大.

1. 如图,点 $ E $,$ F $,$ G $,$ H $ 分别位于正方形 $ ABCD $ 的四条边上,四边形 $ EFGH $ 也是正方形. 当点 $ E $ 位于何处时,正方形 $ EFGH $ 的面积最小？

答案： 在正方形ABCD和EFGH中，$\angle A = \angle B = 90^{\circ}$，$HE = EF$，又
∵$\angle AEH + \angle BEF = 90^{\circ}$，$\angle AEH + \angle AHE = 90^{\circ}$，
∴$\angle BEF = \angle AHE$.
∴$\triangle AEH\cong\triangle BFE$.
∴$AE = BF$. 设正方形ABCD的边长为1，$AE = x$，正方形EFGH的面积为y，则有$EB = 1 - x$. 在$Rt\triangle EBF$中，$EF^2 = EB^2 + BF^2$，$EF^2 = (1 - x)^2 + x^2 = 2x^2 - 2x + 1$，又
∵正方形EFGH的面积为$EF^2$，
∴$y = 2x^2 - 2x + 1$，配方，得$y = 2\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}$. 当$x = \frac{1}{2}$时，函数有最小值，故点E位于AB的中点时，正方形EFGH的面积最小.

2. 某中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园. 其中一边靠墙,另外三边用长为 30 米的篱笆围成. 已知墙长为 18 米(如图所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为 $ x $ 米.
(1) 若平行于墙的一边的长为 $ y $ 米,直接写出 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式及其自变量 $ x $ 的取值范围；
(2) 垂直于墙的一边的长为多少米时,这个苗圃园的面积最大？求出这个最大值；
(3) 当这个苗圃园的面积不小于 88 平方米时,试结合函数图象,直接写出 $ x $ 的取值范围.

答案： （1）$y = 30 - 2x$（$6\leqslant x ＜ 15$）.（2）设矩形苗圃园的面积为S平方米，则$S = xy = x(30 - 2x)= - 2x^2 + 30x$，
∴$S = - 2\left(x - 7.5\right)^2 + 112.5$. 由（1）知，$6\leqslant x ＜ 15$，
∴当$x = 7.5$时，S最大，为112.5. 即当矩形苗圃园垂直于墙的边长为7.5米时，这个苗圃园的面积最大，最大值为112.5平方米.（3）$4\leqslant x\leqslant 11$.