《2025年南方新课堂金牌学案九年级数学上册人教版》

例2 已知$A$,$B$,$C$三点,若$AB = 10$cm,$BC = 8$cm,$AC = 6$cm,则经过$A$,$B$,$C$三点能否确定一个圆？若能,求出其半径；若不能,请说明理由.

答案： 解 经过$A$,$B$,$C$三点能确一个圆.
$\because BC + AC ＞ AB$,$\therefore A$,$B$,$C$三点不在同一直线上.
$\therefore经过A$,$B$,$C$三点能确定一个圆.
又$\because 6^{2} + 8^{2} = 10^{2}$,即$AC^{2} + CB^{2} = AB^{2}$,
$\therefore AB$,$BC$,$AC$三条线段组成直角三角形,而且$AB为经过A$,$B$,$C$三点的圆的直径.
$\therefore半径为5$cm.

1. 用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时,应先假设(A).
A.四边形中每个角都是锐角
B.四边形中每个角都是钝角或直角
C.四边形中有三个角是锐角
D.四边形中有三个角是钝角或直角

答案： A.

2. 已知点$O是\triangle ABC$的外心,作正方形$OCDE$. 下列说法：①点$O是\triangle AEB$的外心；②点$O是\triangle ADC$的外心；③点$O是\triangle BCE$的外心；④点$O是\triangle ADB$的外心. 其中说法一定正确的是(B).
A.②④
B.①③
C.②③④
D.①③④

答案： B.

3. 已知$\odot O的半径是r$,点$P在\odot O$上,那么点$P$到圆心的距离是r.

答案： r.

4. 已知直角三角形的斜边长为$c$,则它的外接圆的面积是$\frac{1}{4}\pi c^{2}$.

答案： $\frac{1}{4}\pi c^{2}$.

5. 如图,用尺规分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆. 它们的外心的位置有什么特点？

答案： 5. 图略. 锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外.

6. 如图,$\odot O是\triangle ABC$的外接圆,已知$\angle B = 60^{\circ}$,求$\angle ACO$的度数.

答案： 6. $\angle ACO=30^{\circ}$.

1. 如图,$AD为\triangle ABC$外接圆的直径,$AD\perp BC$,垂足为点$F$,$\angle ABC的角平分线交AD于点E$,连接$BD$,$CD$.
(1)求证：$BD = CD$；
(2)请判断$B$,$E$,$C三点是否在以D$为圆心,$DB$为半径的圆上,并说明理由.

答案： （1）证明：$\because AD$为直径，$AD\perp BC$，$\therefore \widehat{BD}=\widehat{CD}$. $\therefore BD=CD$. （2）解：$B$，$E$，$C$三点在以$D$为圆心，以$DB$为半径的圆上. 理由如下：由（1）可知$\widehat{BD}=\widehat{CD}$，$\therefore \angle BAD=\angle CBD$. 又$\because BE$平分$\angle ABC$，$\therefore \angle CBE=\angle ABE$. $\because \angle DBE=\angle CBD+\angle CBE$，$\angle DEB=\angle BAD+\angle ABE$，$\therefore \angle DBE=\angle DEB$. $\therefore DB=DE$. 由（1）可知$BD=CD$，$\therefore BD=DE=CD$. $\therefore B$，$E$，$C$三点在以$D$为圆心，以$DB$为半径的圆上.