《2025年新课堂学习与探究七年级数学上册北师大版》

7. 如图，某校国旗旗杆的底座由棱长为1 m的正方体砖砌成，现要把露出来的表面漆成绿色，每平方米的材料及人工费是8元，完工后，共花费264元.

答案： 264

8. 小明学习了“面动成体”之后，用一个边长为3 cm，4 cm和5 cm的直角三角形绕其中一条边所在直线旋转一周，得到了一个几何体.
(1) 请画出可能得到的几何体的简图.
(2) 分别计算出这些几何体的体积(锥体体积=$\frac{1}{3}$底面积×高).

答案：
解:
(1)以4 cm边所在直线为轴得:

以3 cm边所在直线为轴得:

以5 cm边所在直线为轴得:

(2)以4 cm边所在直线为轴，所得几何体的体积为$\frac{1}{3}×3^{2}π×4=12π(cm^{3})$;
以3 cm边所在直线为轴，所得几何体的体积为$\frac{1}{3}×4^{2}π×3=16π(cm^{3})$;
以5 cm边所在直线为轴，所得几何体的体积为$\frac{1}{3}×π×(\frac{12}{5})^{2}×5=9.6π(cm^{3})$.

9. 如图①，已知正方体的边长为a.
(1) 该正方体的表面积是多少？体积是多少？
(2) 如图②，两个这样的正方体叠放在一起表面积是多少？体积是多少？
(3) n个这样的正方体按照图②的方式叠放在一起，表面积是多少？体积是多少？

答案： 解:
(1)该正方体的表面积为6个正方形的面积和，即$6a^{2}$，体积为$a^{3}$.
(2)两个这样的正方体叠放在一起，表面积为$2×6a^{2}-2a^{2}=10a^{2}$，体积为$2a^{3}$.
(3)n个这样的正方体叠放在一起，表面积为$n·6a^{2}-(n - 1)·2a^{2}=(4n + 2)a^{2}$，体积为$na^{3}$.

10. 如图所示几何体是由若干棱长为1的小立方体按一定规律摆成的，若将露出来的表面都涂上颜色(底面不涂色)，观察图形，探究其中的规律.

(1) 第1个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有4个，第3个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有20个.
(2) 求出第100个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数.
第100个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有796个.
(3) 求出前100个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数的和.
前100个几何体中只有2个面涂色的小立方体的个数的和为40000.

答案： 解:
(1)4 20
(2)观察图形可知:第1个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有4个;
第2个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有12个;
第3个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有20个.
4,12,20都是4的倍数，可分别写成4×1,4×3,4×5的形式，
因此第n个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有$4(2n - 1)=(8n - 4)$个，
则第100个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有$8×100 - 4=796$(个).
(3)$(8×1 - 4)+(8×2 - 4)+(8×3 - 4)+(8×4 - 4)+(8×5 - 4)+\dots +(8×100 - 4)$
$=8(1 + 2 + 3 + 4+\dots +100)-100×4$
$=40000$.
故前100个几何体中只有2个面涂色的小立方体的个数的和为40000.