《2025年新课堂学习与探究七年级数学上册北师大版》

9. 已知如下表所示：

解答下列问题：
(1)在表中的空白处分别画出图形,并写出结果。
(2)线段总条数 $ N $ 与线段上的点数 $ n $(包括线段的两个端点)的关系是 $ N = $$\frac{n(n - 1)}{2}$。
(3)当 $ n = 10 $ 时,$ N $ 的值等于45。
(4)问题拓展：
①七(1)班有 45 位同学参加聚会,若每两人握一次手问好,则他们共握了990次手。
②某省计划从甲市到乙市修建一条高速铁路,在两市之间要建 6 个站点,需要制定 $ m $ 种票价,设计 $ n $ 种车票,则 $ m $ 和 $ n $ 的值分别为(D)。
A. 7,14
B. 8,16
C. 15,30
D. 28,56

答案：
(1) 21=6+5+4+3+2+1
(2)$\frac{n(n - 1)}{2}$
(3)45
(4)①990 ②D

10. (1)已知平面内有 $ n $ 个点($ n \geq 2 $),其中任意 3 个点都不在同一条直线上,过这些点中的每两个点作直线,一共能作出多少条不同的直线？(用含 $ n $ 的代数式表示。)
(2)已知平面内有 $ n $ 条直线,记这 $ n $ 条直线最多将这个平面分成的区域数为 $ a_n $,$ a_n $ 的值是多少？(用含 $ n $ 的代数式表示。)

答案： 解:
(1)共可以作出$\frac{n(n - 1)}{2}$条直线.
(2)1条直线将平面分成2个区域,即$a_{1}=2$, 2条直线将平面分成4个区域,即$a_{2}=4$, 3条直线将平面分成7个区域,即$a_{3}=7$, 则$a_{2}-a_{1}=2$, $a_{3}-a_{2}=3$, $a_{4}-a_{3}=4$, $a_{n}-a_{n - 1}=n$, 将上面的所有式子两边相加, 可得$a_{n}-a_{1}=2+3+\cdots +n$, $\therefore a_{n}=2+2+3+\cdots +n=1+1+2+3+\cdots +n=1+\frac{n(1 + n)}{2}=\frac{n^{2}+n + 2}{2}$.