《2025年新课堂学习与探究七年级数学上册北师大版》

10. 如图,数轴上的点 $ P $表示的数为-8,点 $ Q $表示的数为2,几名学生使用这个数轴玩算数游戏,游戏规则为：一个学生在数轴上再选一个点(不是原点),将该点表示的数、-8和2这3个数中的负数除以2,正数乘4,并将所得的新数相加,所得结果记作 $ w $。
(1)若甲同学选的点对应的数是-2,求 $ w $的值。
(2)若乙同学选的点对应的数为 $ 2 - x $,且 $ w = 0 $,判断 $ 2 - x $是正数还是负数,并求 $ x $的值。

答案： 10.解:
(1)当甲同学选的数为-2 时,3 个数分别为-8,-2,2,
根据题意得$w=-\frac{8}{2}+(-\frac{2}{2})+2×4=-4-1+8=3$.
(2)是负数,理由如下:
$\because -\frac{8}{2}+2×4=4$,且$w=0$,
$\therefore 2-x＜0$,是负数,
$\therefore \frac{2-x}{2}=-4$,解得$x=10$.

11. 规定 $ a * b = \frac{a + b}{3} $。
(1)求 $ 2 * 3 $的值。
(2)求 $ 2 * (-4) * \left( -\frac{2}{3} \right) $的值。

答案： 11.解:
(1)$2*3=\frac{2+3}{3}=\frac{5}{3}$.
(2)$2*(-4)*(-\frac{2}{3})=\frac{2+(-4)}{3}*(-\frac{2}{3})=(-\frac{2}{3})*(-\frac{2}{3})=\frac{(-\frac{2}{3})+(-\frac{2}{3})}{3}=-\frac{4}{9}$.

12. 分类讨论思想是数学的重要思想,我们在学习有理数的过程中也深有感受！
(1)当 $ \frac{a}{b} ＜ 0 $时,若 $ b ＞ 0 $,$ |a| ＜ |b| $,则 $ a + b $＞0；
(2)当 $ abc ＜ 0 $时,若 $ \frac{a}{b} ＞ 0 $,则 $ c $＜0；
(3)已知 $ a $,$ b $,$ c $是非零有理数,则 $ \frac{a}{|a|} + \frac{b}{|b|} + \frac{c}{|c|} = $±3 或±1；
(4)当 $ a $与 $ b $都是整数,且 $ |a| + |b| = 1 $时,求 $ \frac{a}{b} $的值。(写出分类讨论的过程。)
a 与 b 都是整数,且$|a|+|b|=1$,
分情况讨论:
①当$a=1,b=0$时,$\frac{a}{b}$无意义；
②当$a=0,b=1$时,$\frac{a}{b}=0$；
③当$a=-1,b=0$时,$\frac{a}{b}$无意义；
④当$a=0,b=-1$时,$\frac{a}{b}=0$.
综上,$\frac{a}{b}$的值为 0.

答案： 12.解:
(1)＞
(2)＜
(3)±3 或±1
(4)a 与 b 都是整数,且$|a|+|b|=1$,
分情况讨论:
①当$a=1,b=0$时,$\frac{a}{b}$无意义；
②当$a=0,b=1$时,$\frac{a}{b}=0$；
③当$a=-1,b=0$时,$\frac{a}{b}$无意义；
④当$a=0,b=-1$时,$\frac{a}{b}=0$.
综上,$\frac{a}{b}$的值为 0.