《2025年新课堂学习与探究七年级数学上册北师大版》

9. 如图,点O为直线AB上一点,∠AOC = 50°,OD平分∠AOC,∠DOE = 90°。
(1) 求∠BOD的度数。
(2) 试判断OE是否平分∠BOC,并说明理由。

答案： 9.解:
(1)
∵∠AOC=50°，OD平分∠AOC，
∴∠DOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=25°，∠BOC=180°−∠AOC=130°，
∴∠BOD=∠DOC+∠BOC=155°.
(2)OE平分∠BOC.理由如下:
∵∠DOE=90°，∠DOC=25°，
∴∠COE=∠DOE−∠DOC=90°−25°=65°.
∵∠BOE=∠BOD−∠DOE=155°−90°=65°，
∴∠COE=∠BOE，
∴OE平分∠BOC.

10. 小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机,当机翼展开在同一平面上时(机翼间无缝隙),∠AOB的度数是45°。

答案： 10.45°

11. (1) 如图①,已知线段MN = 30 cm,AB = 2 cm,点C和点D分别是AM,BN的中点。若AM = 16 cm,求CD的长。
(2) 我们发现角的很多规律和线段一样。如图②,已知∠AOB在∠MON内部转动,射线OC和射线OD分别平分∠AOM和∠BON。
①若∠MON = 150°,∠AOB = 30°,求∠COD的度数。
②请你猜想∠AOB,∠COD和∠MON这3个角有怎样的数量关系。请说明理由。
(3) 如图③,∠AOB在∠MON内部转动,若∠MON = 150°,∠AOB = 30°,∠MOC = m∠AOC,∠NOD = m∠BOD,求∠COD的度数(用含有m的式子直接表示结果)。

答案： 11.解:
(1)
∵MN=30cm，AB=2cm，AM=16cm，
∴BN=MN−AB−AM=12(cm).
∵点C和点D分别是AM，BN的中点，
∴AC=$\frac{1}{2}$AM=8(cm)，BD=$\frac{1}{2}$BN=6(cm).
∴AC+BD=14(cm).
∴CD=AC+AB+BD=14+2=16(cm).
(2)①
∵OC和OD分别平分∠AOM和∠BON，
∴∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOM，∠BOD=$\frac{1}{2}$∠BON，
∴∠AOC+∠BOD=$\frac{1}{2}$∠AOM+$\frac{1}{2}$∠BON=$\frac{1}{2}$(∠AOM+∠BON).又
∵∠MON=150°，∠AOB=30°，
∴∠AOM+∠BON=∠MON−∠AOB=120°，
∴∠AOC+∠BOD=60°.
∴∠COD=∠AOC+∠BOD+∠AOB=60°+30°=90°.②∠COD=$\frac{1}{2}$(∠MON+∠AOB).理由如下:
∵OC和OD分别平分∠AOM和∠BON，
∴∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOM，∠BOD=$\frac{1}{2}$∠BON，
∴∠AOC+∠BOD=$\frac{1}{2}$∠AOM+$\frac{1}{2}$∠BON=$\frac{1}{2}$(∠AOM+∠BON)，
∴∠COD=∠AOC+∠BOD+∠AOB=$\frac{1}{2}$(∠AOM+∠BON)+∠AOB=$\frac{1}{2}$(∠MON−∠AOB)+∠AOB=$\frac{1}{2}$(∠MON+∠AOB).
(3)
∵∠MON=150°，∠AOB=30°，
∴∠AOM+∠BON=120°.
∵∠MOC=m∠AOC，∠NOD=m∠BOD，
∴∠AOM=∠MOC+∠AOC=(1+m)∠AOC，∠BON=∠NOD+∠BOD=(1+m)∠BOD，
∴∠AOC+∠BOD=$\frac{120°}{m+1}$，
∴∠COD=∠AOC+∠BOD+∠AOB=$\frac{120°}{m+1}$+30°.