《2025年精练课堂分层作业八年级数学上册北师大版》

11. 阅读下列材料,回答问题.
材料：解方程组 $\begin{cases}5(x + y) - 3(x - y) = 2,\\2(x + y) + 4(x - y) = 6,\end{cases} $ 若设 $x + y = m$,$x - y = n$,则原方程组可变形为 $\begin{cases}5m - 3n = 2,\\2m + 4n = 6,\end{cases} $ 用加减消元法解得 $\begin{cases}m = 1,\\n = 1,\end{cases} $ 所以 $\begin{cases}x + y = 1,\\x - y = 1,\end{cases} $ 再解这个方程组得 $\begin{cases}x = 1,\\y = 0.\end{cases} $ 由此可以看出,在上述解方程组的过程中,把某个式子看成一个整体,用一个字母去代替它,我们把这种解方程组的方法叫换元法.
问题：请你用上述方法解方程组 $\begin{cases}\frac{x + y}{3} + \frac{x - y}{2} = 1,\\2(x + y) - 3x + 3y = 6.\end{cases} $

答案： $\begin{cases}x = \frac{3}{2} \\ y = \frac{3}{2}\end{cases}$

阅读下列解方程组的方法,然后回答问题.
解方程组$ \begin{cases}19x + 17y = 18, &①\\16x + 14y = 15. &②\end{cases} $
解：由① - ②,得 3x + 3y = 3,即 x + y = 1,③
③×14,得 14x + 14y = 14,④
② - ④,得$ x = \frac{1}{2}.$
从而可得$ y = \frac{1}{2}.$
∴方程组的解是$ \begin{cases}x = \frac{1}{2},\\y = \frac{1}{2}.\end{cases} $
(1) 请你仿照上面的解法解方程组$ \begin{cases}2025x + 2023y = 2024,\\2026x + 2024y = 2025;\end{cases} $
(2) 猜测关于 x,y 的方程组$ \begin{cases}(a + 1)x + (a - 1)y = a,\b + 1)x + (b - 1)y = b(a \neq b)\end{cases} $的解.

答案：
(1)
$\begin{cases}2025x + 2023y = 2024, &①\\2026x + 2024y = 2025.&②\end{cases}$
由$② - ①$，得
$x + y = 1, ③$
$③×2023$，得
$2023x + 2023y = 2023 ，④$
$① - ④$，得
$2x=1$
$x = \frac{1}{2}$
把$x = \frac{1}{2}$代入$③$，得
$\frac{1}{2}+y=1$
$y = \frac{1}{2}$
$\therefore \begin{cases}x = \frac{1}{2}, \\y = \frac{1}{2}. \end{cases}$
(2)
$\begin{cases}(a + 1)x + (a - 1)y = a, \\(b + 1)x + (b - 1)y = b(a \neq b). \end{cases}$
由$① - ②$，得
$(a - b)x + (a - b)y = a - b$，
因为$a\neq b$，
所以$a - b\neq 0$，
方程两边同时除以$（a - b）$，得
$x + y = 1，③$
$③× (a - 1)$，得
$(a - 1)x + (a - 1)y = a - 1， ④$
$① - ④$，得
$2x = 1$
$x = \frac{1}{2}$
把$x = \frac{1}{2}$代入$③$，得
$\frac{1}{2}+y=1$
$y = \frac{1}{2}$
$\therefore \begin{cases}x = \frac{1}{2}, \\y = \frac{1}{2}. \end{cases}$