《2025年精练课堂分层作业八年级数学上册北师大版》

4. 如图,在 3×3 的方格纸中,已知点 A,B 在方格顶点上(也称格点).若点 C 也是格点,且使得△ABC 为直角三角形,则满足条件的 C 点有 (D)

A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
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答案： D

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答案： 是直角三角形

5. 如图,正方形网格中,每一小格的边长为 1.网格内有△PAB,则∠PAB + ∠PBA 的度数是45°.

答案： 45°

6. 勾股定理 $ a^{2} + b^{2} = c^{2} $ 本身就是一个关于 a,b,c 的方程,显然这个方程有无数组解,满足该方程的正整数解(a,b,c)通常叫作勾股数组.若直角三角形的边长都是正整数,则这三个数便构成一组勾股数.在学习“勾股数”的知识时,爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股数,并将它们记录在如下的表格中:
| a | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | … |
| b | 8 | 15 | 24 | 35 | 48 | … |
| c | 10 | 17 | 26 | 37 | 50 | … |
则当 a = 20 时,b + c 的值为200.

答案： 200

7. 如图,每个小正方形的边长都为 1.试判断△ABC 的形状,并说明理由.

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答案： 由网格图可知，每个小正方形边长为 1，根据勾股定理，可得：
$AB=\sqrt{1^{2} + 2^{2}}=\sqrt{5}$，
$AC=\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$的（原图不清晰，此处按常见类似题设定A点在(0,1)，B点在(1,-1)，C点在(4,2)，若实际坐标不同，可按同样方法计算），
$BC=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$。
所以$AB^{2}+BC^{2}=(\sqrt{5})^{2}+(2\sqrt{5})^{2}=5 + 20=25$，$AC^{2}=25$。
即$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$。
所以$\triangle ABC$是直角三角形。

8. 已知某开发区有一块四边形的空地 ABCD,如图.现计划在空地上种植草皮,经测量,∠A = 90°,AB = 3 m,BC = 12 m,CD = 13 m,AD = 4 m.若每平方米草皮需投入 200 元,则一共要投入多少钱?

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答案： 连接BD。
在Rt△ABD中，∠A=90°，AB=3m，AD=4m，
∴BD²=AB²+AD²=3²+4²=25，BD=5m，
S△ABD=1/2×AB×AD=1/2×3×4=6m²。
在△BCD中，BC=12m，CD=13m，BD=5m，
∵BD²+BC²=5²+12²=169=13²=CD²，
∴△BCD是直角三角形，∠CBD=90°，
S△BCD=1/2×BD×BC=1/2×5×12=30m²。
四边形ABCD面积=S△ABD+S△BCD=6+30=36m²。
总投入=36×200=7200元。
答：一共要投入7200元。

9. 如图,在△ABC 中,D 是 BC 的中点,DE⊥BC,垂足为点 D,交 AB 于点 E,且 $ BE^{2} - EA^{2} = AC^{2} $.
(1) 求∠A 的度数;
(2) 若 DE = 3,BD = 4,求 AE 的长.

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答案：
(1) 连接EC。
∵D是BC中点，DE⊥BC，
∴DE垂直平分BC，
∴EB=EC。
∵BE² - EA² = AC²，且EB=EC，
∴EC² - EA² = AC²，即EC² = EA² + AC²。
由勾股定理逆定理得∠A=90°。
(2) 在Rt△BDE中，DE=3，BD=4，
∴BE²=BD² + DE²=4² + 3²=25，
∴BE=5，
∴EC=BE=5。
设AE=x，∠A=90°，则在Rt△EAC中，AC²=EC² - AE²=5² - x²=25 - x²。
∵D是BC中点，BD=4，
∴BC=2BD=8。
在Rt△ABC中，AB=AE + BE=x + 5，由勾股定理得AB² + AC²=BC²，
即(x + 5)² + (25 - x²)=8²，
展开得x² + 10x + 25 + 25 - x²=64，
化简得10x + 50=64，解得x=7/5。
(1) 90°
(2) 7/5