《2025年精练课堂分层作业八年级数学上册北师大版》

4. 如图,$ A(-1,-1) $,$ B(4,2) $,$ C(1,3) $.\n(1)直接写出 $ S_{\triangle ABC} = $7；\n(2)已知点 $ D(-1,m) $,满足 $ S_{\triangle BCD} = \frac{1}{2}S_{\triangle ABC} $,求 $ m $ 的值.\n
(2) $m=\frac{4}{3}$或$6$

答案：
(1) 7；
(2) $m=\frac{4}{3}$或$6$

5. 已知整点(横纵坐标都是整数)$ P_0 $ 在平面直角坐标系内做“跳马运动”(即中国象棋“日”字型跳跃).例如在图①中,从点 $ A $ 做一次“跳马运动”,可以到点 $ B $,也可以到达点 $ C $.设 $ P_0 $ 做一次跳马运动到点 $ P_1 $,做第二次跳马运动到点 $ P_2 $,做第三次跳马运动到点 $ P_3 $,…,如此依次进行.

- (1)若 $ P_0(1,0) $,则 $ P_1 $ 可能是下列的点______.$ D(-1,2) $；$ E(-2,0) $；$ F(0,2) $.\n(2)已知点 $ P_0(4,2) $,$ P_2(1,3) $,则点 $ P_1 $ 的所有可能坐标为______；\n(3)若 $ P_0(0,0) $,则 $ P_{12} $,$ P_{13} $ 可能与 $ P_0 $ 重合的是______.
- (4)如图②,点 $ P_0(1,0) $ 沿 $ x $ 轴正方向向右上方做跳马运动,若 $ P $ 跳到 $ Q_1 $ 位置,称为做一次“正横跳马”；若 $ P $ 跳到 $ Q_2 $ 位置,称为做一次“正竖跳马”.当点 $ P $ 连续做了 $ a $ 次“正横跳马”和 $ b $ 次“正竖跳马”后,到达点 $ P_n(14,11) $,求 $ a + b $ 的值.

答案： 1. （1）
根据“跳马运动”（“日”字型跳跃）的规则，设$P_0(x_0,y_0)$，$P_1(x_1,y_1)$，则$\vert x_1 - x_0\vert=1$，$\vert y_1 - y_0\vert = 2$或$\vert x_1 - x_0\vert=2$，$\vert y_1 - y_0\vert = 1$。
已知$P_0(1,0)$：
对于$D(-1,2)$，$\vert - 1 - 1\vert=2$，$\vert2 - 0\vert = 2$，不满足“日”字型跳跃规则；
对于$E(-2,0)$，$\vert - 2 - 1\vert=3$，不满足“日”字型跳跃规则；
对于$F(0,2)$，$\vert0 - 1\vert=1$，$\vert2 - 0\vert = 2$，满足“日”字型跳跃规则。
所以$P_1$可能是$F(0,2)$。
2. （2）
设$P_1(x,y)$，因为$P_0(4,2)$，$P_2(1,3)$，根据“日”字型跳跃规则$\vert x - 4\vert=1$，$\vert y - 2\vert = 2$或$\vert x - 4\vert=2$，$\vert y - 2\vert = 1$，且$\vert1 - x\vert=1$，$\vert3 - y\vert = 2$或$\vert1 - x\vert=2$，$\vert3 - y\vert = 1$。
分情况讨论：
若$\begin{cases}x - 4=\pm1\\y - 2=\pm2\end{cases}$且$\begin{cases}1 - x=\pm1\\3 - y=\pm2\end{cases}$或$\begin{cases}x - 4=\pm2\\y - 2=\pm1\end{cases}$且$\begin{cases}1 - x=\pm2\\3 - y=\pm1\end{cases}$。
当$\begin{cases}x-4 = 2\\y - 2=-1\end{cases}$且$\begin{cases}1 - x=-2\\3 - y = 1\end{cases}$时，解得$\begin{cases}x = 6\\y = 1\end{cases}$；当$\begin{cases}x-4=-2\\y - 2 = 1\end{cases}$且$\begin{cases}1 - x = 2\\3 - y=-1\end{cases}$时，解得$\begin{cases}x = 2\\y = 3\end{cases}$。
所以$P_1$的所有可能坐标为$(6,1)$，$(2,3)$。
3. （3）
因为“跳马运动”每跳一次，横、纵坐标的变化量$\Delta x$，$\Delta y$满足$\Delta x=\pm1$，$\Delta y=\pm2$或$\Delta x=\pm2$，$\Delta y=\pm1$，则$\Delta x+\Delta y$为奇数。
设$P_n(x_n,y_n)$，$x_n=\sum_{i = 1}^{n}\Delta x_i$，$y_n=\sum_{i = 1}^{n}\Delta y_i$，$x_n + y_n=\sum_{i = 1}^{n}(\Delta x_i+\Delta y_i)$。
当$n = 12$时，$x_{12}+y_{12}=\sum_{i = 1}^{12}(\Delta x_i+\Delta y_i)$，因为$\Delta x_i+\Delta y_i$为奇数，$12$个奇数相加为偶数；当$n = 13$时，$x_{13}+y_{13}=\sum_{i = 1}^{13}(\Delta x_i+\Delta y_i)$，$13$个奇数相加为奇数。
又$P_0(0,0)$，$0 + 0 = 0$（偶数），所以$P_{12}$可能与$P_0$重合。
4. （4）
一次“正横跳马”，设$P_0(1,0)$，若跳到$Q_1$，则坐标变化为$(x,y)\to(x + 3,y+1)$；一次“正竖跳马”，跳到$Q_2$，坐标变化为$(x,y)\to(x + 1,y + 2)$。
因为点$P$连续做了$a$次“正横跳马”和$b$次“正竖跳马”后，到达点$P_n(14,11)$，则$\begin{cases}1+3a + b=14\\0 + a+2b=11\end{cases}$。
由$1+3a + b=14$得$b = 13 - 3a$，将$b = 13 - 3a$代入$a + 2b=11$中：
解：
$a+2(13 - 3a)=11$。
展开得$a + 26-6a=11$。
移项得$a-6a=11 - 26$。
合并同类项得$-5a=-15$，解得$a = 3$。
把$a = 3$代入$b = 13 - 3a$，得$b = 13-3×3 = 4$。
所以$a + b=3 + 4=7$。
综上，答案依次为：（1）$F(0,2)$；（2）$(6,1)$，$(2,3)$；（3）$P_{12}$；（4）$7$。

6. 如图,在平面直角坐标系中,$ O $ 为坐标原点,四边形 $ OABC $ 是矩形,点 $ A $,$ C $ 的坐标分别为 $ A(10,0) $,$ C(0,4) $,点 $ D $ 是 $ OA $ 的中点,点 $ P $ 为线段 $ BC $ 上的点.小明同学写出了一个以 $ OD $ 为腰的等腰三角形 $ ODP $ 的顶点 $ P $ 的坐标$(3,4)$,请你写出其余所有符合这个条件的点 $ P $ 的坐标.

答案： $(2,4)$，$(8,4)$