《2025年精练课堂分层作业八年级数学上册北师大版》

11. 阅读材料：
小强同学在解方程组 $\begin{cases}x + y + 3 = 10, \\ 4(x + y) - y = 25\end{cases} $ 时发现,可将第一个方程通过移项变形为 $x + y = 7$,然后把第二个方程中的 $x + y$ 换成 7,可以很轻松地解出这个方程组。小强同学发现的这种方法叫作“整体代入法”,是中学数学里很常用的一种解题方法。
(1) 请按照小强的解法解出这个方程组；
(2) 用整体代入法解方程组 $\begin{cases}2x + 3y = -4, \\ 6x - 5y = 16.\end{cases} $

答案：
(1)
$\begin{cases}x + y + 3 = 10 \quad (1) \\4(x + y) - y = 25 \quad (2)\end{cases}$
由$(1)$得$x + y = 7 \quad (3)$
把$(3)$代入$(2)$得$4×7 - y = 25$
$28 - y = 25$
$y = 3$
把$y = 3$代入$(3)$得$x + 3 = 7$
$x = 4$
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 4 \\y = 3\end{cases}$
(2)
$\begin{cases}2x + 3y = -4 \quad (1) \\6x - 5y = 16 \quad (2)\end{cases}$
由$(1)$得$2x=-4 - 3y$ $(3)$
给$(3)$式两边同时乘以$3$得：$6x=-12 - 9y$ $(4)$
把$(4)$代入$(2)$得：$-12 - 9y-5y = 16$
$-12-14y = 16$
$-14y = 28$
$y = -2$
把$y = -2$代入$(3)$得：$2x=-4-3×(-2)$
$2x=-4 + 6$
$2x = 2$
$x = 1$
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 1 \\y = -2\end{cases}$

12. 已知关于 $x$,$y$ 的方程组 $\begin{cases}ax + 2\sqrt{3}y = -10\sqrt{3}, \\ x + y = 4\end{cases} $ 与 $\begin{cases}x - y = 2, \\ x + by = 15\end{cases} $ 的解相同。求 $a$,$b$ 的值。

答案： 答题卡：
由题意，两个方程组的解相同，因此可以先通过$x + y = 4$和$x - y = 2$求解共同的解。
将$x + y = 4$与$x - y = 2$相加，得到：
$2x = 6 \implies x = 3$，
将$x + y = 4$与$x - y = 2$相减，得到：
$2y = 2 \implies y = 1$，
所以方程组的公共解为$x = 3, y = 1$。
将$x = 3, y = 1$代入$ax + 2\sqrt{3}y = -10\sqrt{3}$，得到：
$3a + 2\sqrt{3} = -10\sqrt{3} \implies 3a = -12\sqrt{3} \implies a = -4\sqrt{3}$，
将$x = 3, y = 1$代入$x + by = 15$，得到：
$3 + b = 15 \implies b = 12$。
所以$a = -4\sqrt{3}$，$b = 12$。

13. 如图,已知一次函数的图象交正比例函数的图象于第二象限内的点 $A$,交 $x$ 轴于点 $B(-6, 0)$,已知 $\triangle AOB$ 的面积为 15,且 $OA = AB$,求正比例函数和一次函数的表达式。

答案： 设正比例函数表达式为$y=k_1x$，一次函数表达式为$y=k_2x+b$。
步骤1：求点A的纵坐标
点$B(-6,0)$，则$OB=6$。$\triangle AOB$面积为15，设点$A(x,y)$（$x＜0,y＞0$，第二象限），面积公式$\frac{1}{2}× OB× y=15$，即$\frac{1}{2}×6× y=15$，解得$y=5$，故$A(x,5)$。
步骤2：求点A的横坐标
$OA=AB$，$O(0,0)$，$B(-6,0)$。由距离公式：
$OA=\sqrt{x^2+5^2}$，$AB=\sqrt{(x+6)^2+5^2}$。
$OA=AB\Rightarrow x^2+25=(x+6)^2+25\Rightarrow x^2=x^2+12x+36\Rightarrow12x=-36\Rightarrow x=-3$。
故$A(-3,5)$。
步骤3：求正比例函数表达式
点$A(-3,5)$在正比例函数上，$5=k_1×(-3)\Rightarrow k_1=-\frac{5}{3}$，表达式为$y=-\frac{5}{3}x$。
步骤4：求一次函数表达式
点$B(-6,0)$在一次函数上：$0=k_2×(-6)+b\Rightarrow b=6k_2$，故$y=k_2x+6k_2$。
点$A(-3,5)$在一次函数上：$5=k_2×(-3)+6k_2\Rightarrow5=3k_2\Rightarrow k_2=\frac{5}{3}$，则$b=6×\frac{5}{3}=10$，表达式为$y=\frac{5}{3}x+10$。
结论
正比例函数：$y=-\frac{5}{3}x$；一次函数：$y=\frac{5}{3}x+10$。

14. 如图,已知过点 $B(1, 0)$ 的直线 $l_1$ 与直线 $l_2: y = 2x + 4$ 交于点 $P(-1, a)$。
(1) 求直线 $l_1$ 的表达式；
(2) 求四边形 $PAOC$ 的面积。

答案：
(1) $ y=-x+1 $；
(2) $ 4 $。