《2025年精练课堂分层作业八年级数学上册北师大版》

11. 如图,在平面直角坐标系中,$ A(4,0) $,$ C(0,6) $,点 $ B $ 在第一象限,点 $ P $ 从原点 $ O $ 出发,以每秒 2 个单位长度的速度沿着长方形 $ OABC $ 移动一周.(即沿着 $ O \to A \to B \to C \to O $ 的路线移动)
(1)点 $ B $ 的坐标为(4,6).
(2)当点 $ P $ 移动了 4 秒,描出此时点 $ P $ 的位置,并写出点 $ P $ 的坐标；
(3)在移动过程中,当点 $ P $ 到 $ x $ 轴距离为 5 个单位长度时,求点 $ P $ 移动的时间.

答案：
(1)(4,6)
(2)点P移动路程：2×4=8单位。O→A路程4单位，耗时2秒；剩余8-4=4单位在A→B段，A→B速度2单位/秒，时间4÷2=2秒，纵坐标0+4=4，坐标(4,4)。
(3)到x轴距离5即y=5。
①A→B段：A(4,0)到B(4,6)，y=5时，路程OA+5=4+5=9，时间9÷2=4.5秒。
②C→O段：C(0,6)到O(0,0)，y=5时，路程OA+AB+BC+(6-5)=4+6+4+1=15，时间15÷2=7.5秒。
综上，时间为4.5秒或7.5秒。

12. 点 $ P $ 是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上,过点 $ P $ 向 $ x $ 轴、$ y $ 轴作垂线段,若垂线段的长度的和为 4,则点 $ P $ 叫作“垂距点”,例如：下图中的点 $ P(1,3) $ 是“垂距点”.
(1)在点 $ A(-2,2) $,$ B(\frac{1}{2},-\frac{5}{2}) $,$ C(-1,5) $ 中,“垂距点”是$ A $；
(2)若 $ D(\frac{3}{2}m,\frac{5}{2}m) $ 是“垂距点”,求 $ m $ 的值.

$ m = \pm 1 $

答案：
(1) $ A $；
(2) $ m = \pm 1 $。

13. 我们规定以下三种变换：
(1)$ f(a,b) = (-a,b) $,如 $ f(1,3) = (-1,3) $；
(2)$ g(a,b) = (b,a) $,如 $ g(1,3) = (3,1) $；
(3)$ h(a,b) = (-a,-b) $,如 $ h(1,3) = (-1,-3) $.
按照以上变换有：$ f(g(2,-3)) = f(-3,2) = (3,2) $.求 $ f(h(5,-3)) $.

答案： $h(5,-3)=(-5,3)$，$f(-5,3)=(5,3)$
结论：$(5,3)$

14. 对于平面直角坐标系 $ xOy $ 中的点 $ P(a,b) $,若点 $ P_{1} $ 的坐标为 $ (a + kb,ka + b) $(其中 $ k $ 为常数,且 $ k \neq 0 $),则称点 $ P_{1} $ 为点 $ P $ 的“$ k $ 属派生点”.例如,$ P(1,4) $ 的“2 属派生点”为 $ P_{1}(1 + 2 × 4,2 × 1 + 4) $,即 $ P_{1}(9,6) $.
(1)点 $ (-2,3) $ 的“3 属派生点”$ P_{1} $ 的坐标为(7,-3)；(直接填空)
(2)若点 $ P $ 的“5 属派生点”$ P_{1} $ 的坐标为 $ (3,-9) $,则点 $ P $ 坐标为(-2,1)；(直接填空)
(3)若 $ x $ 轴正半轴上一点 $ P(a,0) $ 的“$ k $ 属派生点”为 $ P_{1} $,且线段 $ PP_{1} $ 的长度为线段 $ OP $ 长度的 2 倍,则 $ k = $±2；(直接填空)
(4)在(3)的条件下,若点 $ M $ 在 $ y $ 轴上,连接 $ MP $,$ MP_{1} $,使 $ MP_{1} $ 平分 $ \angle PMO $,请直接写出点 $ M $ 的纵坐标.(用含 $ a $ 的代数式表示)
±√3a

答案：
(1)(7,-3)
(2)(-2,1)
(3)±2
(4)±√3a