《2025年精练课堂分层作业八年级数学上册北师大版》

6. 如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y = kx + b的图象经过点A(-2,6)$,且与$x轴交于点B$,与正比例函数$y = 3x的图象交于点C$,点$C$的横坐标为 1.
(1) 求$k$,$b$的值；
(2) 若点$D在y$轴负半轴上,且满足$S_{\triangle COD} = \frac{1}{3}S_{\triangle BOC}$,求点$D$的坐标.

答案：
(1) 当$x = 1$时，$y = 3 × 1 = 3$，
所以，点$C$的坐标为$(1,3)$，
将点$A(-2,6)$，点$C(1,3)$代入$y = kx + b$，
得：
$\begin{cases}-2k + b = 6, \\k + b = 3.\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}k = -1, \\b = 4.\end{cases}$
(2) 由
(1)得一次函数解析式为$y = -x + 4$，
令$y = 0$，则$x = 4$，
所以，点$B$的坐标为$(4,0)$，
$OB = 4,C$点到$x$轴的距离为$3$，
$S_{\bigtriangleup BOC} = \frac{1}{2} × 4 × 3 = 6$，
$S_{\bigtriangleup COD} = \frac{1}{3}S_{\bigtriangleup BOC} = \frac{1}{3} × 6 = 2$，
设点$D$坐标为$(0,m),m ＜ 0$，
点$C$到$y$轴的距离为$1$，
$S_{\bigtriangleup COD} = \frac{1}{2} × |m| × 1 = 2$，
所以，$|m| = 4$，
由于$m ＜ 0$，
所以，$m = -4$，
所以，点$D$坐标为$(0,-4)$。

7. 在某机器工作前先将其空油箱加满,然后停止加油使机器立即开始工作.当该机器停止工作时,油箱中油量为 5 L.在整个过程中,油箱里的油量$y$(L)与时间$x$(min)之间的关系如图所示.
(1) 机器每分钟加油量为3L,机器工作的过程中每分钟耗油量为0.5L；
(2) 求机器工作时$y关于x$的函数表达式,并写出自变量$x$的取值范围；
设机器工作时函数表达式为$y=kx+b$，将$(10,30)$和$(60,5)$代入得：
$\begin{cases}10k+b=30 \\60k+b=5\end{cases}$
解得$k=-0.5$，$b=35$，故表达式为$y=-0.5x+35$，自变量取值范围$10\leq x\leq60$。
(3) 直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时$x$的值.
5或40

答案：
(1) 3；0.5
(2) 设机器工作时函数表达式为$y=kx+b$，将$(10,30)$和$(60,5)$代入得：
$\begin{cases}10k+b=30 \\60k+b=5\end{cases}$
解得$k=-0.5$，$b=35$，故表达式为$y=-0.5x+35$，自变量取值范围$10\leq x\leq60$。
(3) 5或40