《2025年精练课堂分层作业八年级数学上册北师大版》

5. 已知正比例函数 $ y = (2 - m) \cdot x^{|m - 2|} $, $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小,则 $ m $ 的值是3.

答案： $3$（或 填对应选择题的选项，根据题目要求这里直接填数值）

6. 点 $ (-\frac{1}{2},m) $ 和点 $ (2,n) $ 在直线 $ y = 2x $ 上,则 $ m $ 与 $ n $ 的大小关系是$m ＜ n$.

答案： $m ＜ n$

7. 在下图所示的平面直角坐标系中,点 $ P $ 是直线 $ y = x $ 上的动点, $ A(2,0),B(4,0) $ 是 $ x $ 轴上的两点,则 $ PA + PB $ 的最小值为$2\sqrt{5}$.
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答案： $2\sqrt{5}$

8. 已知函数 $ y = (k + \frac{1}{2})x^{k^2 - 3} $ ( $ k $ 是常数).
(1) 当 $ k $ 为何值时,该函数是正比例函数?
(2) 当 $ k $ 为何值时,正比例函数 $ y $ 的值随着 $ x $ 值的增大而增大?
(3) 当 $ k $ 为何值时,正比例函数 $ y $ 的值随着 $ x $ 值的增大而减小?
(4) 分别画出它们的图象.
(5) 点 $ A(2,5) $ 和点 $ B(2,-3) $ 分别在哪条直线上?

答案：
(1)由正比例函数定义得$k^2 - 3 = 1$，解得$k = \pm 2$，且$k + \frac{1}{2} \neq 0$（恒成立），所以$k = \pm 2$。
(2)由正比例函数性质，当$k + \frac{1}{2} ＞ 0$时，$y$随$x$增大而增大。结合
(1)得$k = 2$。
(3)由正比例函数性质，当$k + \frac{1}{2} ＜ 0$时，$y$随$x$增大而减小。结合
(1)得$k = -2$。
(4)当$k = 2$时，$y = \frac{5}{2}x$，图象为过原点直线，斜率为$\frac{5}{2}$；当$k = -2$时，$y = -\frac{3}{2}x$，图象为过原点直线，斜率为$-\frac{3}{2}$。
(5)点$A(2,5)$在$y = \frac{5}{2}x$上；点$B(2,-3)$在$y = -\frac{3}{2}x$上。

9. 已知 $ y - 2 $ 与 $ 3x - 4 $ 成正比例关系,且当 $ x = 2 $ 时, $ y = 3 $.
(1) 写出 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式;
(2) 若点 $ P(a,-3) $ 在这个函数的图象上,求 $ a $ 的值.

答案：
(1)
因为$y - 2$与$3x - 4$成正比例关系，所以设$y - 2 = k(3x - 4)$（$k\neq0$）。
把$x = 2$，$y = 3$代入$y - 2 = k(3x - 4)$得：
$3 - 2=k(3×2 - 4)$
$1 = k×2$
解得$k=\frac{1}{2}$。
把$k = \frac{1}{2}$代入$y - 2 = k(3x - 4)$得：
$y - 2=\frac{1}{2}(3x - 4)$
$y=\frac{3}{2}x - 2 + 2$
$y=\frac{3}{2}x$
(2)
因为点$P(a,-3)$在这个函数的图象上，把$x = a$，$y = - 3$代入$y=\frac{3}{2}x$得：
$-3=\frac{3}{2}a$
$a = - 2$
综上，
(1)中函数关系式为$y=\frac{3}{2}x$；
(2)中$a$的值为$-2$。

如图,已知正比例函数 $ y = kx $ 的图象经过点 $ A $,点 $ A $ 在第四象限,过点 $ A $ 作 $ AH \perp x $ 轴,垂足为 $ H $,点 $ A $ 的横坐标为 $ 3 $,且 $ \triangle AOH $ 的面积为 $ 3 $.
(1) 求正比例函数的表达式;
(2) 在 $ x $ 轴上是否存在一点 $ P $,使 $ \triangle AOP $ 的面积为 $ 5 $? 若存在,求出点 $ P $ 的坐标;若不存在,请说明理由.
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答案：
(1)
因为点$A$的横坐标为$3$，$AH\perp x$轴，垂足为$H$，$\triangle AOH$的面积为$3$，
根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}× OH× AH$，已知$OH = 3$，$S_{\triangle AOH}=3$，
则$\frac{1}{2}×3× AH = 3$，
解得$AH = 2$。
又因为点$A$在第四象限，所以$A(3,-2)$。
把$A(3,-2)$代入$y = kx$，得$3k=-2$，
解得$k =-\frac{2}{3}$。
所以正比例函数的表达式为$y =-\frac{2}{3}x$。
(2)
存在。
设点$P$的坐标为$(x,0)$，则$OP=\vert x\vert$。
已知$A(3,-2)$，则$AH = 2$（$A$到$x$轴距离），$S_{\triangle AOP}=\frac{1}{2}× OP× AH$。
因为$S_{\triangle AOP}=5$，$AH = 2$，所以$\frac{1}{2}×\vert x\vert×2 = 5$，
即$\vert x\vert = 5$，
解得$x=\pm5$。
所以点$P$的坐标为$(5,0)$或$(-5,0)$。