《2025年精练课堂分层作业八年级数学上册北师大版》

1. 定义:如图,点 M,N 把线段 AB 分割成 AM,MN,NB,若以 AM,MN,NB 为边的三角形是一个直角三角形,则称点 M,N 是线段 AB 的勾股分割点.

[img]https://p9-hippo-sign.byteimg.com/tos-cn-i-a9yeduch1e/5f3c1d9d8d4c4e9a9d6d6c8c8c8c8c8c~tplv-ii0cwwkcx9-resize-crop-v1:402:1385:597:1513:0:0.png?lk3s= f89d68d8&x-expires= 2045392847&x-signature= 76767676767676767676767676767676[/img]
(1) 已知 M,N 把线段 AB 分割成 AM,MN,NB,若 AM = 2.5,MN = 6.5,BN = 6,则点 M,N 是线段 AB 的勾股分割点吗? 请说明理由.
(2) 已知点 M,N 是线段 AB 的勾股分割点,且 AM 为直角边,若 AB = 14,AM = 4,求 BN 的长.

答案：
(1) 是；
(2) $\frac{21}{5}$或$\frac{29}{5}$。

2. 已知 a,b,c 为△ABC 三边,且满足 $ a^{2} + b^{2} + c^{2} + 338 = 10a + 24b + 26c $. 判断△ABC 的形状.

答案： 移项得：$a^{2}-10a + b^{2}-24b + c^{2}-26c + 338 = 0$，
配方得：$(a^{2}-10a + 25)+(b^{2}-24b + 144)+(c^{2}-26c + 169)=0$，
即$(a - 5)^{2}+(b - 12)^{2}+(c - 13)^{2}=0$，
因为平方数非负，所以$a - 5=0$，$b - 12=0$，$c - 13=0$，
解得$a=5$，$b=12$，$c=13$，
验证：$5^{2}+12^{2}=25 + 144=169=13^{2}$，
故$\triangle ABC$是直角三角形。
结论：直角三角形