《2025年精练课堂分层作业八年级数学上册北师大版》

9. 如图,已知直线 $ l_1:y = - 2x + 4 $ 与坐标轴分别交于 $ A $,$ B $ 两点,那么过原点 $ O $ 且将 $ \triangle AOB $ 的面积平分的直线 $ l_2 $ 的解析式为(D)

A.$ y = \frac{1}{2}x $
B.$ y = x $
C.$ y = \frac{3}{2}x $
D.$ y = 2x $

答案： D

10. 如图,一次函数 $ y = x + 4 $ 的图象与 $ x $ 轴,$ y $ 轴分别交于点 $ A $,$ B $,点 $ C(-2,0) $ 是 $ x $ 轴上一点,点 $ E $,$ F $ 分别为直线 $ y = x + 4 $ 和 $ y $ 轴上的两个动点,当 $ \triangle CEF $ 的周长最小时,点 $ E $,$ F $ 的坐标分别为(C)

A.$ E(-\frac{5}{2},\frac{3}{2}) $,$ F(0,2) $
B.$ E(-2,2) $,$ F(0,2) $
C.$ E(-\frac{5}{2},\frac{3}{2}) $,$ F(0,\frac{2}{3}) $
D.$ E(-2,2) $,$ F(0,\frac{2}{3}) $

答案： C

11. 如图,在平面直角坐标系中,点 $ A(0,4) $,$ B(3,0) $,连接 $ AB $,将 $ \triangle AOB $ 沿过点 $ B $ 的直线折叠,使点 $ A $ 落在 $ x $ 轴上的点 $ A' $ 处,折痕所在的直线交 $ y $ 轴正半轴于点 $ C $.
(1) 求直线 $ BC $ 的表达式；
(2) 求 $ \triangle A'BC $ 的面积.

答案：
(1)设$C(0,m)$，因为点$A(0,4)$，$B(3,0)$，沿过点$B$的直线折叠使点$A$落在$x$轴上的点$A'$处，所以$BA = BA'$，由勾股定理$BA=\sqrt{OA^{2}+OB^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}} = 5$，则$A'(-2,0)$。
设直线$BC$的表达式为$y = kx + m$，把$B(3,0)$，$A(-2,0)$（这里应该是利用$AC = A'C$，设$C(0,m)$，$AC=4 - m$，$A'C=\sqrt{m^{2}+4}$，由$AC = A'C$得$(4 - m)^{2}=m^{2}+4$，解得$m=\frac{3}{2}$）
把$B(3,0)$，$C(0,\frac{3}{2})$代入$y = kx + m$，可得$\begin{cases}0 = 3k+\frac{3}{2}\\frac{3}{2}=m\end{cases}$，解得$k=-\frac{1}{2}$，$m = \frac{3}{2}$。
所以直线$BC$的表达式为$y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$。
(2)由
(1)知$A'(-2,0)$，$B(3,0)$，$C(0,\frac{3}{2})$，则$A'B=3-(-2)=5$，$C$到$x$轴距离为$\frac{3}{2}$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，$S_{\triangle A'BC}=\frac{1}{2}×5×\frac{3}{2}=\frac{15}{4}$。
综上，
(1)直线$BC$的表达式为$y = -\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$；
(2)$\triangle A'BC$的面积为$\frac{15}{4}$。

12. 已知直线 $ y = \frac{3}{4}x + 6 $ 与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别交于点 $ A $ 和点 $ B $,点 $ C $ 在线段 $ AO $ 上.将 $ \triangle ABO $ 沿 $ BC $ 折叠后,点 $ O $ 恰好落在 $ AB $ 边上点 $ D $ 处.
(1) 求出 $ OC $ 的长；
(2) 如图,点 $ E $,$ F $ 是直线 $ BC $ 上的两点,若 $ \triangle AEF $ 是以 $ EF $ 为斜边的等腰直角三角形,求点 $ F $ 的坐标.

答案：
(1) 对于直线 $ y = \frac{3}{4}x + 6 $，令 $ y = 0 $ 得 $ x = -8 $，则 $ A(-8,0) $；令 $ x = 0 $ 得 $ y = 6 $，则 $ B(0,6) $。
在 $ Rt\triangle ABO $ 中，$ AO = 8 $，$ BO = 6 $，由勾股定理得 $ AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = 10 $。
折叠后 $ OD $ 落在 $ D $ 处，设 $ OC = DC = x $，则 $ AC = 8 - x $，$ BD = BO = 6 $，故 $ AD = AB - BD = 4 $。
在 $ Rt\triangle ADC $ 中，$ AD^2 + DC^2 = AC^2 $，即 $ 4^2 + x^2 = (8 - x)^2 $，解得 $ x = 3 $，即 $ OC = 3 $。
(2) 由 $ B(0,6) $，$ C(-3,0) $，得直线 $ BC $ 的解析式为 $ y = 2x + 6 $。设 $ E(x_1, 2x_1 + 6) $，$ F(x_2, 2x_2 + 6) $，$ A(-8,0) $。
$ \triangle AEF $ 以 $ EF $ 为斜边的等腰直角三角形，则 $ AE = AF $，$ \angle EAF = 90^\circ $。
向量 $ \overrightarrow{AE} = (x_1 + 8, 2x_1 + 6) $，$ \overrightarrow{AF} = (x_2 + 8, 2x_2 + 6) $，由 $ \overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AF} = 0 $ 及 $ |\overrightarrow{AE}| = |\overrightarrow{AF}| $，解得 $ x_1 + x_2 = -8 $，$ |x_2 - x_1| = 4 $。
联立解得 $ x_2 = -2 $（$ x_1 = -6 $），则 $ F(-2, 2 × (-2) + 6) = (-2, 2) $。
(1) $ OC = 3 $
(2) $ F(-2, 2) $