《2025年精练课堂分层作业八年级数学上册北师大版》

13. 如果关于$x$,$y的二元一次方程组\begin{cases}3x - ay = 16,\\2x + by = 15\end{cases} 的解是\begin{cases}x = 7,\\y = 1,\end{cases} 求下列关于x$,$y的方程组\begin{cases}3(x + y) - a(x - y) = 16,\\2(x + y) + b(x - y) = 15\end{cases} $的解.

答案： 将第一个方程组的解$\begin{cases}x = 7\\y = 1\end{cases}$代入原方程组，观察第二个方程组结构，设$u = x + y$，$v = x - y$，则第二个方程组可化为：
$\begin{cases}3u - av = 16\\2u + bv = 15\end{cases}$
此方程组与第一个方程组形式相同，故$\begin{cases}u = 7\\v = 1\end{cases}$，即：
$\begin{cases}x + y = 7\\x - y = 1\end{cases}$
两式相加：$2x = 8\Rightarrow x = 4$，代入$x + y = 7$得$y = 3$。
$\begin{cases}x = 4\\y = 3\end{cases}$

(1) 阅读材料：
解方程组$\begin{cases}x + y = 4, &①\\3(x + y) + y = 14, &②\end{cases} $
将①整体代入②,得$3×4 + y = 14$,
解得$y = 2$.
把$y = 2$代入①,得$x = 2$,
所以$\begin{cases}x = 2,\\y = 2.\end{cases} $
这种解法称为“整体代入法”,有很多方程组可采用此方法解答,请直接写出方程组$\begin{cases}x - y - 1 = 0, &①\\4(x - y) - y = 5 &②\end{cases} $的解：$\begin{cases} x=0 \\ y=-1 \end{cases}$.

答案： $x = 0,y = -1$（由于题目未给出选项，这里填写方程组的解）

(2) 实践运用：请用“整体代入法”解方程组$\begin{cases}2x - 3y - 2 = 0, &①\frac{2x - 3y + 5}{7} + 2y = 9. &②\end{cases} $

答案： 由方程①，得：
$2x - 3y = 2$ （记为方程③）,
将方程③代入方程②中，得：
$\frac{2 + 5}{7} + 2y = 9$，
化简得：
$1 + 2y = 9$，
进一步解得：
$y = 4$，
将 $y = 4$ 代入方程③中，得：
$2x - 3 × 4 = 2$，
化简得：
$2x - 12 = 2$，
进一步解得：
$x = 7$。
因此，方程组的解为：
$\begin{cases}x = 7, \\y = 4.\end{cases}$