《2025年精练课堂分层作业八年级数学上册北师大版》

7. 如图所示,一次函数 $ y = kx + b $ 的图象经过 $ A(2,4) $,$ B(0,2) $ 两点,与 $ x $ 轴交于点 $ C $.
(1) 求直线 $ AB $ 的表达式；
(2) 求 $ \triangle AOC $ 的面积.

答案：
(1) 将点 $A(2,4)$，$B(0,2)$ 代入 $y = kx + b$ 得：
$\begin{cases}2k + b = 4, \\b = 2.\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = 1, \\b = 2.\end{cases}$
所以，直线 $AB$ 的表达式为 $y = x + 2$。
(2) 对于 $y = x + 2$，令 $y = 0$，得 $x = -2$，
所以点 $C$ 的坐标为 $(-2,0)$，
$OC$的长度为$2$，点$A$到$x$轴的距离为$4$，即$\triangle AOC$中$OC$边上的高为$4$，
$S_{\triangle AOC} = \frac{1}{2} × OC × 4 = \frac{1}{2} × 2 × 4 = 4$。
所以$\triangle AOC$ 的面积为$4$。

8. 杆秤是我国传统的计重工具,如图,秤钩上所挂的不同重量的物体使得秤砣到秤纽的水平距离不同. 称重时,秤钩所挂物重为 $ x $(斤)时,秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为 $ y $(厘米). 下表中为若干次称重时所记录的一些数据,$ y $ 是 $ x $ 的一次函数.
| $ x $/斤 | 0 | 0.75 | 1.00 | 1.5 | 2.25 | 3.25 |
| $ y $/厘米 | -2 | 1 | 2 | 4 | 7 | 11 |

注：秤杆上秤砣在秤纽左侧时,水平距离 $ y $(厘米)为正,在右侧时为负.
(1) 根据题意,完成上表；
(2) 请求出 $ y $ 与 $ x $ 的关系式；
(3) 当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为 15 厘米时,秤钩所挂物重是多少斤？

（2）设$y$与$x$的关系式为$y=kx+b$，将$x=0$，$y=-2$和$x=1.00$，$y=2$代入可得：$\begin{cases}b=-2\\k+b=2\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=4\\b=-2\end{cases}$，所以$y=4x-2$。
（3）当$y=15$时，$15=4x-2$，解得$x=4.25$，即秤钩所挂物重是4.25斤。

答案： （1）1.5；11；（2）$ y=4x-2 $；（3）4.25斤。