《2025年精练课堂分层作业八年级数学上册北师大版》

3. 如图,一架秋千静止时,踏板离地的垂直高度 $ DE = 0.5 $ m,将它往前推送 1.5 m(水平距离 $ BC = 1.5 $ m)时,秋千的踏板离地的垂直高度 $ BF = 1 $ m,秋千的绳索始终拉直,则绳索 $ AD $ 的长是2.5m.

答案： 2.5

4. 下图是某滑雪场 U 型池的示意图,该 U 型池可以看作一个长方体去掉一个半圆柱而成,中间可供滑行部分的截面是半径为 3 的半圆,其边缘 $ AB = CD = 16 $,点 $ E $ 在 $ CD $ 上,$ CE = 4 $. 一名滑雪爱好者从 $ A $ 点滑到 $ E $ 点时,他滑行的最短路程约为15.( $ \pi $ 取 3)

答案： 15

5. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题:“今有池方一丈,葭(jiā)生其中央,出水一尺. 引葭赴岸,适与岸齐. 问水深几何?”(注:丈、尺是长度单位,1 丈 = 10 尺)这段话翻译成现代汉语,即:有一个水池,水面是一个边长为 1 丈的正方形,在水池正中央有一根芦苇,它高出水面 1 尺. 如果把这根芦苇拉向水池一边的中点,它的顶端恰好到达池边的水面,则水池里水的深度是12尺.

答案： （此处虽非选择题，但按要求填写）
$12$

6. 如图, $ \triangle ACB $ 和 $ \triangle ECD $ 都是等腰直角三角形, $ \angle ACB = \angle ECD = 90 ^ { \circ } $, $ D $ 为 $ AB $ 边上一点. 求证:
(1) $ \triangle ACE \cong \triangle BCD $;
(2) $ AD ^ { 2 } + DB ^ { 2 } = DE ^ { 2 } $.

答案：
(1)
∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，
∴AC=BC，EC=DC，∠ACB=∠ECD=90°．
∵∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，∠ECD=∠ACD+∠ACE=90°，
∴∠ACE=∠BCD．
在△ACE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l} AC=BC\\ ∠ACE=∠BCD\\ EC=DC\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD(SAS)．
(2) 由
(1)知△ACE≌△BCD，
∴AE=DB，∠CAE=∠CBD．
∵△ACB是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∴∠CAE=∠CBA=45°，
∴∠EAD=∠CAB+∠CAE=45°+45°=90°．
在Rt△EAD中，由勾股定理得AD²+AE²=DE²，
∵AE=DB，
∴AD²+DB²=DE²．