《2025年精练课堂分层作业八年级数学上册北师大版》

1. 如图所示,$\angle B= \angle OAF= 90^{\circ}$,$BO= 3\mathrm{cm}$,$AB= 4\mathrm{cm}$,$AF= 12\mathrm{cm}$,求图中半圆的面积.

答案： 在Rt△ABO中，∠B=90°，BO=3cm，AB=4cm，由勾股定理得：
AO²=AB²+BO²=4²+3²=25，故AO=5cm。
在Rt△OAF中，∠OAF=90°，AO=5cm，AF=12cm，由勾股定理得：
OF²=AO²+AF²=5²+12²=169，故OF=13cm。
图中半圆的直径为OF，半径r=13/2 cm，半圆面积为：
(1/2)πr²=(1/2)π×(13/2)²=169π/8 cm²。
169π/8 cm²

2. 如图,在等腰三角形$ABC$中,$AB= AC$,$BC= 20$厘米,$D是边AB$上一点,且$CD= 16$厘米,$BD= 12$厘米.求：
(1)$AD$的长；
(2)$\triangle ABC中BC$边上的高.

答案：
(1) 14/3厘米；
(2) 40/3厘米。

3. 等腰直角三角板按如图所示的方式放置,直角顶点$C在直线m$上,分别过点$A$,$B作AE\perp m于点E$,$BD\perp m于点D$.
(1)求证：$EC= BD$；
(2)若设$\triangle AEC三边分别为a$,$b$,$c$,利用此图证明勾股定理.

答案：
(1)证明：
∵AE⊥m，BD⊥m，
∴∠AEC=∠BDC=90°．
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BCD=90°．
在Rt△AEC中，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠BCD．
在△AEC和△CDB中，
$\left\{\begin{array}{l}∠AEC=∠CDB\\∠CAE=∠BCD\\AC=CB\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△CDB(AAS)，
∴EC=BD．
(2)证明：
由
(1)知△AEC≌△CDB，
∴CD=AE=b，BD=EC=a，BC=AC=c．
梯形ABDE的面积=$\frac{1}{2}(AE+BD)\cdot ED=\frac{1}{2}(b+a)(a+b)=\frac{(a+b)^2}{2}$．
梯形ABDE的面积=$S_{\triangle AEC}+S_{\triangle BCD}+S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2=ab+\frac{c^2}{2}$．
∴$\frac{(a+b)^2}{2}=ab+\frac{c^2}{2}$，
即$\frac{a^2+2ab+b^2}{2}=ab+\frac{c^2}{2}$，
两边同乘2得$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$，
化简得$a^2+b^2=c^2$．

4. 已知等腰$\triangle ABC的底边长BC= 20\mathrm{cm}$,$D是AC$上的一点,且$CD= 12\mathrm{cm}$,$BD= 16\mathrm{cm}$.
(1)证明：$CD\perp DB$；
(2)求$\triangle ABC$的面积.

答案：
(1) 证明见上；
(2) 400/3 cm²。