《2025年精练课堂分层作业八年级数学上册北师大版》

1. 已知点 $ P(-3a - 4,2 + a) $,回答下列各题：
- (1)若点 $ P $ 在 $ x $ 轴上,则点 $ P $ 的坐标为 $ P $(2,0)；
(2)若 $ Q(5,8) $,且 $ PQ // y $ 轴,则点 $ P $ 的坐标为 $ P $(5,-1)；
- (3)若点 $ P $ 在第二象限,且它到 $ x $ 轴、$ y $ 轴的距离相等,求 $ a^{2023} + 2023 $ 的值.
2022

答案：
(1)
因为点$P$在$x$轴上，所以其纵坐标为$0$，即$2 + a = 0$，解得$a = - 2$。
把$a = - 2$代入横坐标$-3a - 4$，得$-3×(-2)-4 = 2$。
所以点$P$的坐标为$P(2,0)$。
(2)
因为$PQ// y$轴，所以点$P$与点$Q$的横坐标相等，即$-3a - 4 = 5$，解得$a = - 3$。
把$a = - 3$代入纵坐标$2 + a$，得$2 + (-3)= - 1$。
所以点$P$的坐标为$P(5,-1)$。
(3)
因为点$P$在第二象限，且它到$x$轴、$y$轴的距离相等，所以$-(-3a - 4)=2 + a$。
去括号得$3a + 4 = 2 + a$。
移项得$3a - a = 2 - 4$。
合并同类项得$2a = - 2$，解得$a = - 1$。
把$a = - 1$代入$a^{2023}+2023$，得$(-1)^{2023}+2023=-1 + 2023 = 2022$。
综上，答案依次为：
(1)$(2,0)$；
(2)$(5,-1)$；
(3)$2022$。

2. 已知在平面直角坐标系中,有三点 $ A(-2,1) $,$ B(3,1) $,$ C(2,3) $.\n(1)在下图所示的平面直角坐标系中描出点 $ A $,$ B $,$ C $ 的位置.
- (2)求出以 $ A $,$ B $,$ C $ 为顶点的三角形的面积.

- (3)在 $ y $ 轴上是否存在点 $ P $,使以 $ A $,$ B $,$ P $ 为顶点的三角形的面积为 $ 10 $？若存在,请直接写出点 $ P $ 的坐标；若不存在,请说明理由.

答案：
(2)
因为$A(-2,1)$，$B(3,1)$，$AB$平行于$x$轴，$AB = 3 - (-2)=5$，
点$C$到$AB$（$y = 1$）的距离为$3 - 1 = 2$，
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，
所以${S}_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× AB×$点$C$到$AB$的距离$=\frac{1}{2}×5×2 = 5$。
(3)
设$P(0,y)$，$A(-2,1)$，$B(3,1)$，$AB = 5$，
点$P$到$AB$（$y = 1$）的距离为$\vert y - 1\vert$，
由${S}_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}× AB×\vert y - 1\vert=10$，
即$\frac{1}{2}×5×\vert y - 1\vert=10$，
$\vert y - 1\vert = 4$，
则$y - 1 = 4$或$y - 1=-4$，
解得$y = 5$或$y=-3$，
所以点$P$的坐标为$(0,5)$或$(0,-3)$。

3. (1)如图,作出 $ \triangle ABC $ 关于 $ y $ 轴对称的 $ \triangle A'B'C' $,并写出 $ \triangle A'B'C' $ 三个顶点的坐标；\n(2)在 $ x $ 轴上画出点 $ P $,使 $ PA + PC $ 的值最小,并直接写出 $ PA + PC $ 的最小值.

答案：
(1)
作$A$，$B$，$C$关于$y$轴对称的点$A'$，$B'$，$C'$，$A(1,2)$关于$y$轴对称点$A'(-1,2)$；$B(2,1)$关于$y$轴对称点$B'(-2,1)$；$C(3,3)$关于$y$轴对称点$C'(-3,3)$。
顺次连接$A'$，$B'$，$C'$得到$\triangle A'B'C'$。
$\triangle A'B'C'$三个顶点坐标为$A'(-1,2)$，$B'(-2,1)$，$C'(-3,3)$。
(2)
作$A$关于$x$轴的对称点$A''(1, - 2)$，连接$A''C$，与$x$轴交点即为$P$点。
设直线$A''C$的解析式为$y=kx + b$，把$A''(1,-2)$，$C(3,3)$代入得$\begin{cases}k + b=-2\\3k + b=3\end{cases}$，
两式相减得$2k = 5$，解得$k=\frac{5}{2}$，把$k=\frac{5}{2}$代入$k + b=-2$得$b=-\frac{9}{2}$，
所以直线$A''C$解析式为$y=\frac{5}{2}x-\frac{9}{2}$，当$y = 0$时，$\frac{5}{2}x-\frac{9}{2}=0$，解得$x=\frac{9}{5}$，即$P(\frac{9}{5},0)$。
根据对称性$PA=PA''$，所以$PA + PC=PA''+PC$，根据两点之间线段最短，$PA + PC$最小值为$\sqrt{(3 - 1)^{2}+(3+2)^{2}}=\sqrt{4 + 25}=\sqrt{29}$。