《2025年精练课堂分层作业八年级数学上册北师大版》

8. 甲、乙两人共同解方程组$\begin{cases}ax + 5y = 15, &①\\4x - by = -2, &②\end{cases} $由于甲看错了①中的$a$,得到方程组的解为$\begin{cases}x = -3,\\y = -1,\end{cases} $乙看错了②中的$b$,得到方程组的解为$\begin{cases}x = 5,\\y = 4,\end{cases} 计算a^{2022}+(-\frac{b}{10})^{2021}$的值.

答案： 根据甲的解 $\begin{cases} x = -3, \\ y = -1 \end{cases}$ 代入方程②：
$4 × (-3) - b × (-1) = -2$
$-12 + b = -2$
$b = 10$。
根据乙的解 $\begin{cases} x = 5, \\ y = 4 \end{cases}$ 代入方程①：
$5a + 5 × 4 = 15$
$5a + 20 = 15$
$a = -1$。
计算 $a^{2022} + \left(-\frac{b}{10}\right)^{2021}$：
$(-1)^{2022} + \left(-\frac{10}{10}\right)^{2021}$
$= 1 + (-1)^{2021}$
$= 1 - 1$
$= 0$。
最终答案为：$0$。

已知关于$x$,$y的二元一次方程ax + 2y - 2b = 0$($a$,$b$均为常数,且$a\neq0$).
(1)当$a = -1$,$b = 2$时,用$x的代数式表示y$;
(2)若$\begin{cases}x = a - 4b,\\y = 2b^{2}+b\end{cases} $是该二元一次方程的一个解.
①探索$a与b$关系,并说明理由;
②无论$a$,$b$取何值,该方程有一个固定解,请求出这个解.

答案：
(1)当 $a = -1$，$b = 2$ 时，原方程为 $-x + 2y - 4 = 0$，
整理得$y = \frac{1}{2}x + 2$。
(2)①将 $\begin{cases} x = a - 4b, \\ y = 2b^{2} + b \end{cases}$
代入 $ax + 2y - 2b = 0$，得：
$a(a - 4b) + 2(2b^{2} + b) - 2b = 0$，
整理得$a^{2} - 4ab + 4b^{2} = 0$，
即$(a - 2b)^{2} = 0$，
解得$a = 2b$。
②由 $a = 2b$ 代入原方程 $ax + 2y - 2b = 0$，得：
$2bx + 2y - 2b = 0$，
整理得$bx + y - b = 0$，
整理得$y = -bx + b$，
由$-bx + b =b(1-x)=0$，
因为无论 $b$ 取何值，该方程都有一个固定解，
所以$1-x=0$，即$x = 1$，
将$x=1$代入原式得$y = 0+b-b= 0$，
所以这个固定解为$\begin{cases} x = 1, \\ y = 0. \end{cases}$