《2025年精练课堂分层作业八年级数学上册北师大版》

3. 在同一平面直角坐标系中,一次函数 $y = ax + b$ 与 $y = mx + n$ ($a ＜ m ＜ 0$) 的图象如图所示。小星根据图象得到如下结论：
① 在一次函数 $y = mx + n$ 的图象中,$y$ 的值随着 $x$ 的增大而增大；
② 方程组 $\begin{cases} y - ax = b, \\ y - mx = n \end{cases} $ 的解为 $\begin{cases} x = -3, \\ y = 2 \end{cases} $；
③ 方程 $mx + n = 0$ 的解为 $x = 2$；
④ 当 $x = 0$ 时,$ax + b = -1$。
其中结论正确的个数是 (B)

A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

答案： B

4. 一次函数 $y_1 = kx + b$ 与 $y_2 = x + a$ 的图象如图,则下列结论：① $k ＜ 0$；② $a ＞ 0$；③ 当 $x ＜ 3$ 时,$y_1 ＞ y_2$ 中,正确的是①③。

答案： ①③（或写为对应的选项形式，若题目是填空形式则按要求填写序号）

5. 已知一次函数 $y = 3x - 1$ 与 $y = kx$ ($k$ 是常数,$k \neq 0$) 的图象的交点坐标是 $(1,2)$,则方程组 $\begin{cases} 3x - y = 1, \\ kx - y = 0 \end{cases} $ 的解是$\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \end{cases}$。

答案： $\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \end{cases}$

6. 如图,一次函数 $y = kx + b$ 的图象与正比例函数 $y = 2x$ 的图象平行且经过点 $A(1,-2)$,则 $k \cdot b = $-8。

答案： -8

7. 元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里,驽马日行一百五十里,驽马先行一十二日,问良马几何日追及之。”下图是两匹马行走路程 $s$ 关于行走时间 $t$ 的函数图象,则两图象交点 $P$ 的坐标是______(20,4800)。

答案： $(20,4800)$

8. 如图,直线 $y_1 = kx + b$ 与坐标轴交于 $A(0,2)$,$B(m,0)$ 两点,与直线 $y_2 = -4x + 12$ 交于点 $P(2,n)$,直线 $y_2 = -4x + 12$ 交 $x$ 轴于点 $C$,交 $y$ 轴于点 $D$。
(1) 求 $m$,$n$ 值；
(2) 直接写出方程组 $\begin{cases} y = kx + b, \\ y = -4x + 12 \end{cases} $ 的解为$\begin{cases} x=2 \\ y=4 \end{cases}$；
(3) 求 $\triangle PBC$ 的面积。

(1) $m=-2$，$n=4$；(3) $10$。

答案：
(1) 对于点$ P(2,n) $，因其在直线$ y_2 = -4x + 12 $上，将$ x=2 $代入得：$ n = -4×2 + 12 = 4 $。
直线$ y_1 = kx + b $过点$ A(0,2) $和$ P(2,4) $。将$ A(0,2) $代入$ y_1 $得$ b=2 $；将$ P(2,4) $、$ b=2 $代入得$ 4 = 2k + 2 $，解得$ k=1 $，故$ y_1 = x + 2 $。
点$ B(m,0) $在$ y_1 $上，令$ y=0 $得$ 0 = m + 2 $，解得$ m=-2 $。
(2) 方程组$ \begin{cases} y = kx + b \\ y = -4x + 12 \end{cases} $的解为两直线交点坐标，即$ P(2,4) $，故解为$ \begin{cases} x=2 \\ y=4 \end{cases} $。
(3) 直线$ y_2 = -4x + 12 $与$ x $轴交于$ C $，令$ y=0 $得$ 0 = -4x + 12 $，解得$ x=3 $，故$ C(3,0) $。
点$ B(-2,0) $、$ C(3,0) $，则$ BC = 3 - (-2) = 5 $。点$ P(2,4) $到$ x $轴距离为$ 4 $（即$ \triangle PBC $的高）。
$ S_{\triangle PBC} = \frac{1}{2} × BC × 4 = \frac{1}{2} × 5 × 4 = 10 $。
(1) $ m=-2 $，$ n=4 $；
(2) $ \begin{cases} x=2 \\ y=4 \end{cases} $；
(3) $ 10 $。