《2025年精练课堂分层作业八年级数学上册北师大版》

1. (1)已知某数的平方根是 $ a + 3 $ 和 $ 2a - 15 $,$ b $ 的立方根是 $ - 2 $,求 $ - b - a $ 的平方根.
(2)已知 $ y = \sqrt { x - 24 } + \sqrt { 24 - x } - 8 $,求 $ \sqrt [ 3 ] { x - 5 y } $ 的值.

答案：
(1)$\pm 2$；
(2)$4$。

2. 下图是由 $ 8 $ 个同样大小的立方体组成的魔方,体积为 $ 64 \mathrm { cm } ^ { 3 } $.
(1)求这个魔方的棱长.
(2)图中阴影部分是一个正方形,求出阴影部分的面积及边长.

答案：
(1)设魔方的棱长为$a$，由正方体体积公式$V=a^3$，得$a^3=64$，解得$a=4\,cm$。
(2)每个小立方体体积为$64÷8=8\,cm^3$，小立方体棱长为$\sqrt[3]{8}=2\,cm$。阴影正方形边长为小立方体面对角线，由勾股定理得边长$=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\,cm$，面积为$(2\sqrt{2})^2=8\,cm^2$。
(1) $4\,cm$；
(2) 面积$8\,cm^2$，边长$2\sqrt{2}\,cm$。

3. 已知 $ a $,$ b $,$ c $ 在数轴上如图所示,化简：$ \sqrt { a ^ { 2 } } - | a + b | + \sqrt { ( c - a ) ^ { 2 } } + | b + c | $.

答案： $-a$

4. 类比平方根(二次根式)、立方根(三次方根)的定义可给出四次方根、五次方根的定义：①如果 $ x ^ { 4 } = a ( a \geqslant 0 ) $,那么 $ x $ 叫作 $ a $ 的四次方根；②如果 $ x ^ { 5 } = a $,那么 $ x $ 叫作 $ a $ 的五次方根. 请根据以上两个定义,回答下列问题.
(1)求 $ 81 $ 的四次方根.
因为$(\pm3)^{4}=81$，所以$81$的四次方根为$\pm3$。
(2)求 $ - 32 $ 的五次方根.
因为$( - 2)^{5}=-32$，所以$-32$的五次方根为$-2$。
(3)若 $ \sqrt [ 4 ] { a } $ 有意义,则 $ a $ 的取值范围为$a\geqslant0$；若 $ \sqrt [ 5 ] { a } $ 有意义,则 $ a $ 的取值范围为全体实数.
(4)解方程：① $ x ^ { 4 } = 16 $；② $ 100 000 x ^ { 5 } = 243 $.
①因为$(\pm2)^{4}=16$，所以$x = \pm2$。
②由$100000x^{5}=243$，可得$x^{5}=\frac{243}{100000}$，
因为$(\frac{3}{10})^{5}=\frac{243}{100000}$，所以$x=\frac{3}{10}$。

答案：
(1)
因为$(\pm3)^{4}=81$，所以$81$的四次方根为$\pm3$。
(2)
因为$( - 2)^{5}=-32$，所以$-32$的五次方根为$-2$。
(3)
若$\sqrt[4]{a}$有意义，则$a$的取值范围为$a\geqslant0$；若$\sqrt[5]{a}$有意义，则$a$的取值范围为全体实数。
(4)
①
因为$(\pm2)^{4}=16$，所以$x = \pm2$。
②
由$100000x^{5}=243$，可得$x^{5}=\frac{243}{100000}$，
因为$(\frac{3}{10})^{5}=\frac{243}{100000}$，所以$x=\frac{3}{10}$。

5. 已知 $ 5 + \sqrt { 7 } $ 的小数部分为 $ a $,$ 5 - \sqrt { 7 } $ 的小数部分为 $ b $,求 $ ( a + b ) ^ { 2022 } $ 的值.

答案： $1$。

6. 如图,点 $ A $ 表示的数为 $ - \sqrt { 2 } $,一只蚂蚁从点 $ A $ 开始沿数轴向右爬 $ 2 $ 个单位长度后到达点 $ B $,设点 $ B $ 所表示的数为 $ n $.
(1)求 $ n $ 的值；
(2)求 $ | n + 1 | + ( n + 2 \sqrt { 2 } - 2 ) $ 的值.

答案：
(1)
因为点$A$表示的数为$-\sqrt{2}$，蚂蚁从点$A$向右爬$2$个单位长度到达点$B$，在数轴上，右移做加法，所以$n = - \sqrt{2}+2$。
(2)
由
(1)知$n = 2 - \sqrt{2}$，则$\vert n + 1\vert+(n + 2\sqrt{2}-2)=\vert2 - \sqrt{2}+1\vert+(2 - \sqrt{2}+2\sqrt{2}-2)$
$=\vert3 - \sqrt{2}\vert+\sqrt{2}$
因为$3-\sqrt{2}＞0$，所以$\vert3 - \sqrt{2}\vert=3 - \sqrt{2}$，则$\vert3 - \sqrt{2}\vert+\sqrt{2}=3 - \sqrt{2}+\sqrt{2}=3$。
综上，
(1)中$n$的值为$2 - \sqrt{2}$；
(2)的值为$3$。