《2025年精练课堂分层作业八年级数学上册北师大版》

1. 如图,$y = 2x + 3与x轴交于点A$,与$y轴交于点B$。
(1) 求$A$,$B$两点的坐标；
(2) 点$C(a,0)为x$轴上一个动点,过点$C作x$轴的垂线,交直线$y = 2x + 3于点D$,若线段$CD = 5$,求$a$的值。

答案：
(1)
对于直线$y = 2x + 3$，
当$y = 0$时，$2x + 3 = 0$，解得$x =-\frac{3}{2}$，所以$A(-\frac{3}{2},0)$；
当$x = 0$时，$y = 3$，所以$B(0,3)$。
(2)
因为点$C(a,0)$，过点$C$作$x$轴的垂线交直线$y = 2x + 3$于点$D$，所以点$D$的横坐标为$a$，把$x = a$代入$y = 2x + 3$得$y = 2a + 3$，则$D(a,2a + 3)$。
因为$C(a,0)$，$CD=\vert2a + 3\vert$，又因为$CD = 5$，所以$\vert2a + 3\vert = 5$。
当$2a+3 = 5$时，$2a = 2$，解得$a = 1$；
当$2a + 3=-5$时，$2a=-8$，解得$a = - 4$。
综上，$a$的值为$1$或$-4$。

2. 如图,直线$l与x$轴、$y轴分别交于点A(3,0)$、点$B(0,2)$,以线段$AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC$,$\angle BAC = 90^{\circ}$,点$P(1,a)$为坐标系中的一个动点。
(1) 请直接写出直线$l$的表达式；
(2) 求出$\triangle ABC$的面积；
(3) 当$\triangle ABC与\triangle ABP$面积相等时,求实数$a$的值。

答案：
(1)设直线$l$的表达式为$y=kx+b$，将$A(3,0)$、$B(0,2)$代入得：$\begin{cases}0=3k+b\\2=b\end{cases}$，解得$k=-\frac{2}{3}$，$b=2$，故直线$l$的表达式为$y=-\frac{2}{3}x+2$。
(2)由$A(3,0)$、$B(0,2)$，得$AB=\sqrt{(3-0)^2+(0-2)^2}=\sqrt{13}$。因$\triangle ABC$为等腰直角三角形，$\angle BAC=90^\circ$，则$AC=AB=\sqrt{13}$，面积$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× AB× AC=\frac{1}{2}×\sqrt{13}×\sqrt{13}=\frac{13}{2}$。
(3)用鞋带公式，$S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}|3(2-a)+0(a-0)+1(0-2)|=\frac{1}{2}|4-3a|$。令$\frac{1}{2}|4-3a|=\frac{13}{2}$，得$|4-3a|=13$。解得$4-3a=13$时$a=-3$；$4-3a=-13$时$a=\frac{17}{3}$。
(1)$y=-\frac{2}{3}x+2$；
(2)$\frac{13}{2}$；
(3)$a=-3$或$\frac{17}{3}$。

3. 已知$A$,$B两地之间有一条长240$千米的公路。甲车从$A地出发匀速开往B$地,甲车出发两小时后,乙车从$B地出发匀速开往A$地,两车同时到达各自的目的地。两车行驶的路程之和$y$(千米)与甲车行驶的时间$x$(时)之间的函数关系如图所示。
(1) 甲车的速度为40千米/时,$a$的值为480。
(2) 求乙车出发后,$y与x$之间的函数关系式。
设函数关系式为$y = kx + b$，
当$x = 2$时，$y = 80$；当$x = 6$时，$y = 480$，
代入得$\begin{cases}2k + b = 80,\\6k + b = 480.\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = 100,\\b = - 120.\end{cases}$
所以$y = 100x - 120(2\leqslant x\leqslant6)$。
(3) 当甲、乙两车相距$100$千米时,求甲车行驶的时间。
由题意可知，两车相遇前相距$100$千米时，$(40x + 60(x - 2))=240 - 100$，
$40x + 60x-120 = 140$，
$100x = 260$，
$x = \frac{13}{5} = 2.6$；
两车相遇后相距$100$千米时，$(40x + 60(x - 2))=240 + 100$，
$40x + 60x-120 = 340$，
$100x = 460$，
$x = \frac{23}{5} = 4.6$。
所以甲车行驶的时间为$2.6$小时或$4.6$小时。

答案： （1）由题意可知，甲车$2$小时行驶了$80$千米，所以甲车速度为$80÷2 × 3（原a值相关推导隐含的全程时间概念，通过后续分析反推） ÷（6 - 0（整体时间跨度）中甲行驶6小时的逻辑） = 40$（通过$s = vt$，$240 = 40×6$验证）千米/时；
两车同时到达目的地，甲车行驶$6$小时，乙车行驶$6 - 2 = 4$小时，
设乙车速度为$v$，$240 = 4v$，得$v = 60$，
两车路程之和$a = 240 + 240 = 480$。
故答案为$40$；$480$。
（2）设函数关系式为$y = kx + b$，
当$x = 2$时，$y = 80$；当$x = 6$时，$y = 480$，
代入得$\begin{cases}2k + b = 80,\\6k + b = 480.\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = 100,\\b = - 120.\end{cases}$
所以$y = 100x - 120(2\leqslant x\leqslant6)$。
（3）由题意可知，两车相遇前相距$100$千米时，$(40x + 60(x - 2))=240 - 100$，
$40x + 60x-120 = 140$，
$100x = 260$，
$x = \frac{13}{5} = 2.6$；
两车相遇后相距$100$千米时，$(40x + 60(x - 2))=240 + 100$，
$40x + 60x-120 = 340$，
$100x = 460$，
$x = \frac{23}{5} = 4.6$。
所以甲车行驶的时间为$2.6$小时或$4.6$小时。