《2025年精练课堂分层作业八年级数学上册北师大版》

1. 如图,在矩形纸片 $ ABCD $ 中, $ AB = 7 $, $ BC = 9 $, $ M $ 是 $ BC $ 上的点,且 $ CM = 2 $. 将矩形纸片 $ ABCD $ 沿过点 $ M $ 的直线折叠,使点 $ D $ 落在 $ AB $ 上的点 $ P $ 处,点 $ C $ 落在点 $ C ^ { \prime } $ 处,折痕为 $ MN $,求线段 $ AP $ 的长.

答案： 解：设 $ AP = x $，则 $ PB = AB - AP = 7 - x $。
由折叠性质知 $ PM = DM $。
矩形 $ ABCD $ 中，$ BC = 9 $，$ CM = 2 $，则 $ BM = BC - CM = 9 - 2 = 7 $。
以 $ A $ 为原点建立坐标系：$ A(0,0) $，$ B(7,0) $，$ C(7,9) $，$ D(0,9) $，$ M(7,7) $，$ P(x,0) $。
计算 $ DM $ 长度：
$ D(0,9) $，$ M(7,7) $，
$ DM^2 = (7 - 0)^2 + (7 - 9)^2 = 7^2 + (-2)^2 = 49 + 4 = 53 $。
由 $ PM = DM $，得 $ PM^2 = 53 $。
$ P(x,0) $，$ M(7,7) $，
$ PM^2 = (7 - x)^2 + (7 - 0)^2 = (7 - x)^2 + 49 $。
则 $ (7 - x)^2 + 49 = 53 $，
$ (7 - x)^2 = 4 $，
$ 7 - x = 2 $（$ 7 - x = -2 $ 舍去，因 $ x ＜ 7 $），
解得 $ x = 5 $。
答：线段 $ AP $ 的长为 $ 5 $。

2. 学校开展艺术节活动,小明站在距离教学楼( $ CD $ )35 米的 $ A $ 处,操控一架无人机进行摄像,已知无人机在 $ D $ 点处显示的高度为距离地面 30 米,无人机沿直线匀速飞行到点 $ E $ 处悬停拍摄,此时显示距离地面 10 米;随后无人机沿着直线飞行到点 $ B $ 处悬停拍摄,此时正好位于小明的头顶正上方( $ AB // CD $ ),且显示距离地面 25 米. 已知无人机从点 $ D $ 匀速飞行到点 $ E $ 所用的时间与它从点 $ E $ 匀速飞行到点 $ B $ 所用的时间相同,则无人机从点 $ D $ 到点 $ E $ 再到点 $ B $ 一共飞行了多少米? 请写出计算过程.

答案： 解：建立平面直角坐标系，以A为原点(0,0)，AC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴。
由题意得：
A(0,0)，C(35,0)（AC=35米）；
D(35,30)（D距地面30米），B(0,25)（B距地面25米）；
设E点坐标为(x,10)（E距地面10米）。
因无人机匀速飞行且DE、EB所用时间相同，故DE=EB。
由勾股定理：
DE=√[(35-x)²+(30-10)²]=√[(35-x)²+20²]，
EB=√[(x-0)²+(25-10)²]=√[x²+15²]。
令DE=EB，得：
√[(35-x)²+20²]=√[x²+15²]，
两边平方：(35-x)²+400=x²+225，
展开：1225-70x+x²+400=x²+225，
化简：1625-70x=225，
解得：x=20。
则EB=√[20²+15²]=√(400+225)=√625=25，
故DE=EB=25米，总路程=DE+EB=25+25=50米。
答：50米。