《2025年精练课堂分层作业八年级数学上册北师大版》

3. 阅读材料：
善于思考的小军在解方程组$\begin{cases}2x + 5y = 3&①,\\4x + 11y = 5&②\end{cases} $时,采用了一种“整体代换”的解法.
解：将方程②变形为$4x + 10y + y = 5$,
即$2(2x + 5y) + y = 5$ ③,
把方程①代入③,得$2×3 + y = 5$,
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 4,\\y = -1.\end{cases} $
请你解决以下问题：
(1) 模仿小军的“整体代换”法解方程组$\begin{cases}2x - 3y = 5,\\6x - 11y = 9;\end{cases} $
(2) 已知$x$,$y满足方程组\begin{cases}3x^{2} - 2xy + 12y^{2} = 47,\\2x^{2} + xy + 8y^{2} = 36,\end{cases} 求代数式x^{2} + 4y^{2} - xy$值.

答案：
(1)
解：
将方程$6x - 11y = 9$变形为$6x - 9y - 2y = 9$，即$3(2x - 3y) - 2y = 9$ ③，
把方程$2x - 3y = 5$代入③，得$3×5 - 2y = 9$，
$15 - 2y = 9$，
$-2y = -6$，
$y = 3$，
把$y = 3$代入$2x - 3y = 5$，得$2x - 9 = 5$，
$2x = 14$，
$x = 7$，
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 7,\\y = 3.\end{cases}$
(2)
由$3x^{2} - 2xy + 12y^{2} = 47$ ①，$2x^{2} + xy + 8y^{2} = 36$ ②，
将②变形为$4x^{2} + 2xy + 16y^{2} = 72$ ③，
① + ③得：$7x^{2} + 28y^{2} = 119$，
$x^{2} + 4y^{2} = 17$ ④，
把④代入②得：$2×17 + xy = 36 - (x^{2}+4y^{2}-2xy（此处用整体代入思想，由②变形得到与x^{2} + 4y^{2}和xy有关式子）)$，
$34 + xy = 36 - (17 - 2×(x^{2} + 4y^{2}中4y^{2}对应部分与xy的关系，实际直接代入) )$（此步为解释思路，实际解题无需写出），
直接代入得$2×17+xy = 36$，
$xy = 2$，
所以$x^{2} + 4y^{2} - xy = 17 - 2 = 15$。

4. 2022 年北京冬季奥运会吉祥物冰墩墩和冬残奥会吉祥物雪容融深受大家喜爱.已知购买 1 个冰墩墩毛绒玩具和 2 个雪容融毛绒玩具用了 400 元,购买 3 个冰墩墩毛绒玩具和 4 个雪容融毛绒玩具用了 1 000 元.这两种毛绒玩具的单价各是多少元？

答案： 设冰墩墩毛绒玩具的单价为 $x$ 元，雪容融毛绒玩具的单价为 $y$ 元。
根据题意，可以列出以下方程组：
$\begin{cases}x + 2y = 400 \quad (1) \\3x + 4y = 1000 \quad (2)\end{cases}$
将方程
(1)乘以2得：
$2x + 4y = 800 \quad (3)$
用方程
(2)减去方程
(3)得：
$x = 200$
将 $x = 200$ 代入方程
(1)得：
$200 + 2y = 400$
$2y = 200$
$y = 100$
所以，方程组的解为：
$\begin{cases}x = 200 \\y = 100\end{cases}$
答：冰墩墩毛绒玩具的单价为 200 元，雪容融毛绒玩具的单价为 100 元。

5. (2024·山西中考)当下电子产品更新换代速度加快,废旧智能手机数量不断增加.科学处理废旧智能手机,既可减少环境污染,还可回收其中的可利用资源.据研究,从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多 760 克.已知从 2.5 吨废旧智能手机中提炼出的黄金,与从 0.6 吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等.求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克.

答案： 设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金$x$克，则能提炼出白银$(x + 760)$克。
根据题意，得$2.5x = 0.6(x + 760)$，
$2.5x=0.6x + 456$，
$2.5x - 0.6x=456$，
$1.9x = 456$，
$x = 240$。
$x + 760=240 + 760 = 1000$。
所以，从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金$240$克，能提炼出白银$1000$克。