《2025年精练课堂分层作业八年级数学上册北师大版》

9. 已知 $ A = \sqrt[a - 1]{a + 3 b} $ 是 $ a + 3 b $ 的算术平方根, $ B = \sqrt[2 a - b - 1]{1 - a^{2}} $ 是 $ 1 - a^{2} $ 的立方根,求 $ A + B $ 的立方根.

答案： 根据题意，因为$A = \sqrt[a - 1]{a + 3b}$是$a + 3b$的算术平方根，
所以根指数$a - 1 = 2$，
即$a = 3$。
同样，因为$B = \sqrt[2a - b - 1]{1 - a^{2}}$是$1 - a^{2}$的立方根，
所以根指数$2a - b - 1 = 3$，
将$a = 3$代入得：
$2×3 - b - 1 = 3$
$6 - b - 1 = 3$
$b = 2$
将$a = 3$，$b = 2$代入$A$和$B$的表达式中，
得到：
$A = \sqrt{3 + 3 × 2} = \sqrt{9} = 3$
$B = \sqrt[3]{1 - 3^{2}} = \sqrt[3]{-8} = -2$
所以，$A + B = 3 + (-2) = 1$，
因此，$A + B$的立方根为$\sqrt[3]{1} = 1$。

10. 请根据下图中的对话内容回答下列问题.

(1) 求该魔方的棱长;
(2) 求该长方体纸盒的长.

答案：
(1)设魔方的棱长为$x cm$，
由题意得$x^3=216$，
解得$x = 6$。
答：该魔方的棱长为$6cm$。
(2)设该长方体纸盒的长为$y cm$，
由题意可知，长方体纸盒的宽为$6cm$，高为$y cm$，
则$6y^{2}=600$，
$y^{2}=100$，
解得$y = \pm 10$，
因为$y\gt0$，
所以$y = 10$。
答：该长方体纸盒的长为$10cm$。

1. 填写下表:
| $ a $ | 0.000 001 | 0.001 | 1 | 1 000 | 1 000 000 |
| $ \sqrt[3]{a} $ | 0.01 | 0.1 | 1 | 10 | 100 |

(1) 上表中已知数 $ a $ 的小数点的移动与它的立方根 $ \sqrt[3]{a} $ 的小数点的移动间有何规律?这个规律用倍数关系的语言应怎样叙述?
规律：$a$的小数点每向右（或向左）移动$3$位，$\sqrt[3]{a}$的小数点向右（或向左）移动$1$位。倍数关系叙述：$a$扩大（或缩小）$1000$倍，$\sqrt[3]{a}$扩大（或缩小）$10$倍。

(2) 利用规律计算:已知 $ \sqrt[3]{12} = b $, $ \sqrt[3]{0.012} = m $, $ \sqrt[3]{12 000} = n $,求 $ m $, $ n $ 的值.
因为$\sqrt[3]{12}=b$，$0.012$相对于$12$，小数点向左移动了$3$位，所以$m = \sqrt[3]{0.012}=0.1×\sqrt[3]{12}=0.1b$；$12000$相对于$12$，小数点向右移动了$3$位，所以$n=\sqrt[3]{12000}=10×\sqrt[3]{12}=10b$。

(3) 利用规律计算:已知 $ \sqrt[3]{12} = b $,如果 $ \sqrt[3]{x} = 100 b $,求 $ x $.
因为$\sqrt[3]{x}=100b$，$b = \sqrt[3]{12}$，所以$\sqrt[3]{x}=100\sqrt[3]{12}=\sqrt[3]{100^{3}×12}=\sqrt[3]{12000000}$，则$x = 12000000$。

答案： 1. 填写下表：
| $ a $ | 0.000 001 | 0.001 | 1 | 1 000 | 1 000 000 |
| -- | -- | -- | -- | -- | -- |
| $ \sqrt[3]{a} $ | 0.01 | 0.1 | 1 | 10 | 100 |
(1)规律：$a$的小数点每向右（或向左）移动$3$位，$\sqrt[3]{a}$的小数点向右（或向左）移动$1$位。
倍数关系叙述：$a$扩大（或缩小）$1000$倍，$\sqrt[3]{a}$扩大（或缩小）$10$倍。
(2)因为$\sqrt[3]{12}=b$，$0.012$相对于$12$，小数点向左移动了$3$位，所以$m = \sqrt[3]{0.012}=0.1×\sqrt[3]{12}=0.1b$；
$12000$相对于$12$，小数点向右移动了$3$位，所以$n=\sqrt[3]{12000}=10×\sqrt[3]{12}=10b$。
(3)因为$\sqrt[3]{x}=100b$，$b = \sqrt[3]{12}$，所以$\sqrt[3]{x}=100\sqrt[3]{12}=\sqrt[3]{100^{3}×12}=\sqrt[3]{12000000}$，则$x = 12000000$。

2. (1) 已知 $ \sqrt[3]{1 - a^{2}} = 1 - a^{2} $,求 $ a $ 的值;
(2) 若 $ \sqrt[3]{1 - 2 x} $ 与 $ \sqrt[3]{3 x - 5} $ 互为相反数,求 $ 1 - \sqrt{x} $ 的值.

答案：
(1)
因为$\sqrt[3]{m}=m$，则$m = 0$，$m = 1$或$m=-1$。
对于$\sqrt[3]{1 - a^{2}} = 1 - a^{2}$，有：
$1 - a^{2} = 0$或$1 - a^{2} = 1$或$1 - a^{2} = -1$，
当$1 - a^{2} = 0$时，$a=\pm1$；
当$1 - a^{2} = 1$时，$a = 0$；
当$1 - a^{2} = -1$时，$a^{2}=2$，$a=\pm\sqrt{2}$。
所以$a$的值为$\pm1$或$0$或$\pm\sqrt{2}$。
(2)
因为$\sqrt[3]{1 - 2x}$与$\sqrt[3]{3x - 5}$互为相反数，
所以$\sqrt[3]{1 - 2x}=-\sqrt[3]{3x - 5}=\sqrt[3]{5 - 3x}$，
则$1 - 2x = 5 - 3x$，
移项可得$3x-2x=5 - 1$，
解得$x = 4$。
把$x = 4$代入$1-\sqrt{x}$得：$1-\sqrt{4}=1 - 2=-1$。
综上，
(1)中$a$的值为$\pm1$或$0$或$\pm\sqrt{2}$；
(2)中$1 - \sqrt{x}$的值为$-1$。